Continuità e derivabilità

[fede.unive]

Buongiorno a tutti. L'esercizio che propongo è semplice in maniera imbarazzante. Tuttavia penso di essermi perso in un bicchier d'acqua...

Data la funzione
$f(x)={(e^x,if x<0),(1+e^x,if x>=0):}$
studiarne continuità e derivabilità.

Allora l'unico punto in cui devo studiare la continuità è $x_0=0$, dove la funzione presenta una discontinuità con salto. Essendo la funzione ivi discontinua, essa dovrebbe essere anche non derivabile. Tuttavia, se io "sbadatamente" calcolassi derivata destra
$f'_+(x_0)=e^0=1$
e sinistra
$f'_{-}(x_0)=e^0=1$,
queste risultano uguali e pertanto la funzione risulterebbe derivabile in $x_0=0$. Dove sbaglio?

[Sk_Anonymous]

Il teorema dice che se una funzione è derivabile in un punto allora è anche continua in quello stesso punto. Non vale il viceversa (almeno, non sempre).

[fede.unive]

Appunto!!! Dallo svolgimento dell'esercizio la funzione sembra essere derivabile in $x_0=0$. Per il famigerato teorema allora dovrebbe essere anche continua in $x_0$. Ma la funzione è lungi dall'essere continua in $0$.

[Rigel1]

Sbagli nel calcolo di \(f'_-\), dal momento che \(f(0) = 2\); prova a scrivere correttamente il limite del rapporto incrementale.

[gabriella127]

Ma quella derivata lì non la puoi calcolare in quel modo...

[Federico7771]

Ricorda che $D=>C$ ma è anche vero che $notC=>notD$...
Inoltre è sempre bene usare il rapporto incrementale in questi esercizi

[Rigel1]

"gabriella127":Ma quella derivata lì non la puoi calcolare in quel modo...

In che senso? Sicuramente usare la definizione è corretto (direi per definizione):
\[
f'_-(0) = \lim_{x\to 0-} \frac{f(x) - f(0)}{x}
\]
(posto che il limite esista).
In questo caso
\[
f'_-(0) = \lim_{x\to 0-} \frac{e^x - 2}{x} = +\infty.
\]

[Federico7771]

Perfetto! Infatti quel teorema si dimostra proprio con la definizione di derivata e con il rapporto incrementale...
Ora mi torna un vecchio dubbio... Perché usando le derivate ricavate con le regole di derivazione in es come questi si sbaglia spesso?

[gabriella127]

"Rigel":[quote="gabriella127"]Ma quella derivata lì non la puoi calcolare in quel modo...

In che senso? Sicuramente usare la definizione è corretto (direi per definizione):
\[
f'_-(0) = \lim_{x\to 0-} \frac{f(x) - f(0)}{x}
\]
(posto che il limite esista).
In questo caso
\[
f'_-(0) = \lim_{x\to 0-} \frac{e^x - 2}{x} = +\infty.
\][/quote]


Non mi riferivo a quello che dicevi tu,quando ho inviato il mio messaggio il tuo non lo avevo letto, volevo dire a fede.uni che non poteva usare le regole di derivazione, doveva fare il rapporto incrementale.

[Federico7771]

Pure io sapevo così... Ma non ricordo precisamente il perché... Potresti spiegarmi il motivo preciso?

[fede.unive]

$\lim_{h->0^-} {f(x_0+h)-f(x_0)}/{h}= \lim_{h->0^-} {e^{x_0+h}-(1+e^{x_0})}/{h}= \lim_{h->0^-} {e^{0+h}-(1+e^{0})}/{h}=\lim_{h->0^-} {e^{h}-2}/{h}=+oo$

$\lim_{h->0^+} {f(x_0+h)-f(x_0)}/{h}= \lim_{h->0^+} {(1+e^{x_0+h})-(1+e^{x_0})}/{h}= \lim_{h->0^+} {1+e^{0+h}-1-e^{0}}/{h}=\lim_{h->0^+} {e^{h}-1}/{h}=1$

Capito!

[gabriella127]

"Federico777":Pure io sapevo così... Ma non ricordo precisamente il perché... Potresti spiegarmi il motivo preciso?

Le regole di derivazione le puoi usare quando la derivata esiste, vengono dal fare il rapporto incrementale e vedere che la derivata esiste ed è quella, per far vedere che la derivata non c'è in un punto di discontinuità devi usare la definizione, il rapporto incrementale, come hai poi fatto.