Continuità e convessità

[ficus2002]

Sia $f:RR\to RR$ una funzione continua tale che, per ogni $x,y\in RR$ è $f((x+y)/2)\le (f(x)+f(y))/2$. Provare che $f$ è convessa, cioè per ogni $x,y\in RR$ e $t\in [0,1]$ è
$f(ty+(1-t)x)\le tf(y)+(1-t)f(x)$

[jack110]

non so se è giusto dire così, ma si vede che la prima disequazione postata, è identica alla seconda,se $t=1/2$...
ma basta questo?

ciao

[ficus2002]

"jack":non so se è giusto dire così, ma si vede che la prima disequazione postata, è identica alla seconda,se $t=1/2$...

Si, è così.

"jack":
ma basta questo?
ciao

Se la funzione è continua, è sufficiente che la disuguaglianza valga in $t=1/2$.

[Luca.Lussardi]

Con un disegnino si vede subito; se prendi il segmento $[x,y]$ ed il punto $tx+(1-t)y$, allora fai partire la bisezione per cercare $tx+(1-t)y$ con punti iniziali $x$ e $y$. Via via usi l'iptesi di convessità nel punto medio e per continuità passi al limite trovando la convessità nel generico $tx+(1-t)y$.

[ficus2002]

"Luca.Lussardi":Con un disegnino si vede subito; se prendi il segmento $[x,y]$ ed il punto $tx+(1-t)y$, allora fai partire la bisezione per cercare $tx+(1-t)y$ con punti iniziali $x$ e $y$. Via via usi l'iptesi di convessità nel punto medio e per continuità passi al limite trovando la convessità nel generico $tx+(1-t)y$.

Esattamente .

Formalmente, si può procedere così. Per assurdo suppongo esista $t_0\in [0,1]$ tale che
$f(t_0y+(1-t_0)x) > t_0f(y)+(1-t_0)f(x)$.
Per la continuità di $f$ esiste un intorno $U$ di $t_0$ contenuto in $[0,1]$ tale che per ogni $t\in U$ è
$f(ty+(1-t)x) > tf(y)+(1-t)f(x)$.

Definisco ricorsivamente gli insiemi ${T_n}_n$, ponendo $T_0={0,1}$ e
$T_{n+1}={(t_1+t_2)/2:t_1,t_2\in T_n}$.
Per ogni $n$ si dimostra (per induzione su $n$) che:

$T_{n}\subseteq [0,1]$
$T_{n+1}\supseteq T_{n}$
per ogni $t\in T_n$ è $f(ty+(1-t)x)\leq tf(y)+(1-t)x$
esistono $t_1,t_2\in T_n$ tali che $t_0\in [t_1,t_2]$ e $|t_2-t_1|=2^{-n}$[/list:u:2uxx1eah]
Dunque, pur di scegliere $n$ abbastanza grande, esiste un $t$ tale che $t\in T_n \cap U$. Assurdo.

EDIT: corretto $\ge$, vedi sotto.

[ficus2002]

Sempre in tema di convessità, vi propongo questo problema.
Sia $f$ una funzione convessa. Allora, per ogni $x_1,x_2,x_3$ nel suo dominio, è
$f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f((x_1+x_2+x_3)/3)\ge 4/3 [f((x_1+x_2)/2)+f((x_2+x_3)/2)+f((x_3+x_1)/2)]$.

[Fioravante Patrone1]

"ficus2002":
Formalmente, si può procedere così. Per assurdo suppongo esista $t_0\in [0,1]$ tale che
$f(t_0y+(1-t_0)x)\geq t_0f(y)+(1-t_0)f(x)$.
Per la continuità di $f$ esiste un intorno $U$ di $t_0$ contenuto in $[0,1]$ tale che per ogni $t\in U$ è
$f(ty+(1-t)x)\geq tf(y)+(1-t)f(x)$.

attenzione: hai 2 disuguaglianze strette, non deboli (probabilmente è solo un errore di stampa, stile "cut and paste")

che la prima sia stretta dipende dal fatto che neghi la disug debole nel verso opposto

la seconda segue dalla permanenza del segno, come dici tu, ma non potrebbe essere ottenuta con questo strumento se tu avessi solo la disug debole. Per fortuna, la prima era stretta...

ciao

[ficus2002]

"Fioravante Patrone":attenzione: hai 2 disuguaglianze strette, non deboli (probabilmente è solo un errore di stampa, stile "cut and paste")

che la prima sia stretta dipende dal fatto che neghi la disug debole nel verso opposto

la seconda segue dalla permanenza del segno, come dici tu, ma non potrebbe essere ottenuta con questo strumento se tu avessi solo la disug debole. Per fortuna, la prima era stretta...

ciao

grazie dell'osservazione, correggo subito!