Continuità distanza

[DavideGenova1]

Ciao, amici! So che, come si dimostra facilemente, dato uno spazio metrico \((X,d)\) la distanza da un punto fissato \(X\to \mathbb{R},x\mapsto d(x,x_0)\) è un'applicazione continua.
Mi chiedevo se, intendendo $X\times X$ con la topologia prodotto, anche la funzione \(X\times X\to\mathbb{R},(x,y)\mapsto d(x,y)\) sia continua, perché mi sembra leggendo qui e là di vedere sottinteso questo, ma non trovo affermazioni esplicite a riguardo...
$\infty$ grazie a tutti!!!

[billyballo2123]

Ciao! Si in effetti è continua. Se consideri un punto $(x_0,y_0)\in X\times X$ e una bolla di raggio $\varepsilon$ centrata in $d(x_0,y_0)$, per ogni $(x,y)\in B(x_0,\varepsilon$/$2)\times B(y_0,\varepsilon$/$2)$ si ha che
\[
\begin{split}
&d(x,y)\leq d(x,x_0)+d(x_0,y_0)+d(y_0,y) \\
&d(x_0,y_0)\leq d(x_0,x)+d(x,y)+d(y,y_0)
\end{split}
,
\]
ovvero
\[
\begin{split}
&d(x,y)-d(x_0,y_0)\leq d(x,x_0)+d(y_0,y)<\varepsilon \\
&d(x_0,y_0)-d(x,y)\leq d(x_0,x)+d(y,y_0)<\varepsilon
\end{split}
,
\]
da cui segue $|d(x_0,y_0)-d(x,y)|<\varepsilon$. In altre parole per ogni intorno $V\subseteq \mathbb{R}$ di $d(x_0,y_0)$ esiste un intorno $U\subseteq X\times X$ di $(x_0,y_0)$ tale che $d(x,y)\in V$ per ogni $(x,y)\in U$, vale a dire $d$ è continua in $(x_0,y_0)$. Poiché una funzione tra due spazi topologici è continua se e solo se è continua in ogni punto del dominio e $(x_0,y_0)$ era un punto aribitrario di $X\times X$, segue che $d$ è continua.

[DavideGenova1]

Benvenuto e complimenti per la qualità e la chiarezza espositiva del tuo contributo!!! Se il buongiorno si vede dal mattino...
$\infty$ grazie!!!

[billyballo2123]

Fiurati! Grazie a te per il benvenuto e per i complimenti!