Continuità, Differenziabilità in (0,0)
Ho la funzone definita come segue:
[tex]\frac{e^{xy^2}-1}{x^2+y^2}[/tex] se x,y diverse da 0, altrimenti vale proprio 0.
Devo al solito verificare se sia continua, dotata di derivate e differenziabile in (0,0):
[tex]\frac{e^{xy^2}-1}{xy^2}*\frac{xy^2}{(x^2+y^2)}[/tex]
E rimarrebbe [tex]1*\frac{xy^2}{x^2+y^2}[/tex]
E questo è il punto dove sbaglio sempre
[tex]0\leq \frac{y^2}{x^2+y^2}|x|\leq 1*|x|[/tex] [tex]\forall (x,y) \in R^2\setminus (0,0)[/tex]
E per il teorema del confronto dovrebbe fare 0 e quindi la funzione dovrebbe essere continua nell'origine.
Prima di andare avanti, sbagliato come al solito?
[tex]\frac{e^{xy^2}-1}{x^2+y^2}[/tex] se x,y diverse da 0, altrimenti vale proprio 0.
Devo al solito verificare se sia continua, dotata di derivate e differenziabile in (0,0):
[tex]\frac{e^{xy^2}-1}{xy^2}*\frac{xy^2}{(x^2+y^2)}[/tex]
E rimarrebbe [tex]1*\frac{xy^2}{x^2+y^2}[/tex]
E questo è il punto dove sbaglio sempre
[tex]0\leq \frac{y^2}{x^2+y^2}|x|\leq 1*|x|[/tex] [tex]\forall (x,y) \in R^2\setminus (0,0)[/tex]
E per il teorema del confronto dovrebbe fare 0 e quindi la funzione dovrebbe essere continua nell'origine.
Prima di andare avanti, sbagliato come al solito?
Risposte
anche a me la funzione viene continua nell'origine, puoi vederlo anche utilizzando le coordinate polari perchè $(xy^2)/(x^2+y^2)$ diventa $(rho^3cos(theta)sin(theta)^2)/rho^2$
quindi $lim_(rho to 0) rhocos(theta)sin(theta)^2=0$ indipendentemente da $theta$
quindi $lim_(rho to 0) rhocos(theta)sin(theta)^2=0$ indipendentemente da $theta$
Bè che sia continua menomale...purtroppo le coordinate polari non le abbiamo studiate, mi interesava sapere se il mio ragionamento con il criterio del confronto funziona, perchè sbaglio spesso a usarlo, grazie.
Poi esistono entrambe le derivate parziali in (0,0) e valgoomn entrambe 0, per studiare la differenziabilità devo calcolare questo limite:
[tex]\frac{e^{hk}-1}{(h^2+k^2)\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Ora procedendo un pò come prima, cioè basandomi sullo stesso limite notevole [tex]\frac{e^x-1}{x}[/tex]=1 per x che tende a 0 e considerando questa restrizione:
[tex]{(h,k):h=k; k>0}[/tex] arrivo ad ottenere questo risultato:
[tex]\frac{1}{2k\sqrt{2}}[/tex]
Dove k>0, allora il limite sarà pure maggiore di 0, e poichè esiste una restrizione il cui limite non è 0(condizione necessaria per la differenziabilità) allora la funzione non è differenziabile in quel punto.
Quanti errori ci sono?
Poi esistono entrambe le derivate parziali in (0,0) e valgoomn entrambe 0, per studiare la differenziabilità devo calcolare questo limite:
[tex]\frac{e^{hk}-1}{(h^2+k^2)\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Ora procedendo un pò come prima, cioè basandomi sullo stesso limite notevole [tex]\frac{e^x-1}{x}[/tex]=1 per x che tende a 0 e considerando questa restrizione:
[tex]{(h,k):h=k; k>0}[/tex] arrivo ad ottenere questo risultato:
[tex]\frac{1}{2k\sqrt{2}}[/tex]
Dove k>0, allora il limite sarà pure maggiore di 0, e poichè esiste una restrizione il cui limite non è 0(condizione necessaria per la differenziabilità) allora la funzione non è differenziabile in quel punto.
Quanti errori ci sono?
"walter89":
anche a me la funzione viene continua nell'origine, puoi vederlo anche utilizzando le coordinate polari perchè $(xy^2)/(x^2+y^2)$ diventa $(rho^3cos(theta)sin(theta)^2)/rho^2$
quindi $lim_(rho to 0) rhocos(theta)sin(theta)^2=0$ indipendentemente da $theta$
a questo punto non servono: il numeratore è infinitesimo di ordine superiore rispetto al denominatore. la verifica di Darèios89 va quasi bene, nel senso che stavolta i confronti sono corretti, ma non rispetta pienamente la definizione: si chiede di verificare che, per ogni $epsilon > 0, \exists delta > 0$ tale che $|f(x,y) - l| < epsilon$ se $ x in B_delta(x_0)$
quindi fai due errori: il primo riguarda l'uso del valore assoluto, ossia dentro ci devi mettere f(x,y) - l. il secondo è inerente al fatto che al posto di f ci hai messo un'altra funzione. riprova.
comunque ti faccio presente una cosa: visto che devi provare anche la differenziabilità e che differenziabilità implica continuità e derivabilità, ti conviene fare fatica una volta sola. se non è differenziabile, tuttavia non significa che non sia continua..
corretto
Non ti seguo scusa....perchè dici che ho sbagliato e ci ho messo un' altra funzione?
Il limite per la continuità l'ho calcolato per la funzione che mi serviva..........
Nemmeno quanto al valore assoluto ci sono, io non ho usato la definizione per verificare il limite, perciò lo calcolo tramite il confronto e lo metto dove mi serve il valore assoluto, perchè onn è una verifica con definizione.
Scusa ma non ti seguo completamente.....
Il limite per la continuità l'ho calcolato per la funzione che mi serviva..........
Nemmeno quanto al valore assoluto ci sono, io non ho usato la definizione per verificare il limite, perciò lo calcolo tramite il confronto e lo metto dove mi serve il valore assoluto, perchè onn è una verifica con definizione.
Scusa ma non ti seguo completamente.....
la funzione di partenza è f(x,y) = e^xy ecc..
devi trovare qualcosa che maggiori |f(x,y - l)| (con l = 0 in questo caso) e verificare che tutto tende a 0; non puoi mettere al posto di f(x,y) quell'altra. e se non fosse una "verifica con la definizione" non sarebbe una verifica, ma spero sia chiaro a questo punto che ti devi impegnare un po' di più a capire perchè quando cerchi le maggiorazioni stai effettivamente verificando il limite (non è la prima volta che chiedi)
devi trovare qualcosa che maggiori |f(x,y - l)| (con l = 0 in questo caso) e verificare che tutto tende a 0; non puoi mettere al posto di f(x,y) quell'altra. e se non fosse una "verifica con la definizione" non sarebbe una verifica, ma spero sia chiaro a questo punto che ti devi impegnare un po' di più a capire perchè quando cerchi le maggiorazioni stai effettivamente verificando il limite (non è la prima volta che chiedi)
Allora sul valore assoluto si, mi sbaglio....forse perchè dai miei quaderni tralasciavo la prima parte dove per esempio, prendendo una funzione a caso per farti capire, trovo:
Se la mia funzione fosse:
[tex]\frac{xy}{x^2+y^2}[/tex] avrei
[tex]0\leq|\frac{xy}{x^2+y^2}|...=\frac{x}{x^2+y^2}|y|.....[/tex]
In questo modo l'impostazione del confronto non andrebbe bene? Cioè metto nella prima parte il valore assoluto, nei quaderni non lo trovo messo più in quella frazione dopo l'uguale, l'ha fatto la professoressa, così non dovrebbe andare?
Tornando al problema di partenza, non voglio insistere ma lo faccio perchè non capisco bene.
Il mio limite è:
[tex]\frac{e^{xy^2}-1}{x^2+y^2}[/tex]
E devo verificare che sia 0, a questo punto, come si può fare per i limiti delle funzioni ad una sola variabile non vedo perchè non qui, l'ho scritto come:
[tex]\frac{e^{xy^2}-1}{xy^2}*\frac{xy^2}{x^2+y^2}[/tex]
E non è cambiato niente in teoria....allora dato che il limite notevole mi dà uno mi dovrebbe rimanere:
[tex]\frac{xy^2}{x^2+y^2}[/tex]
che ho trattato come puoi vedere sopra....è questo quello che ho fatto...
Se la mia funzione fosse:
[tex]\frac{xy}{x^2+y^2}[/tex] avrei
[tex]0\leq|\frac{xy}{x^2+y^2}|...=\frac{x}{x^2+y^2}|y|.....[/tex]
In questo modo l'impostazione del confronto non andrebbe bene? Cioè metto nella prima parte il valore assoluto, nei quaderni non lo trovo messo più in quella frazione dopo l'uguale, l'ha fatto la professoressa, così non dovrebbe andare?
Tornando al problema di partenza, non voglio insistere ma lo faccio perchè non capisco bene.
Il mio limite è:
[tex]\frac{e^{xy^2}-1}{x^2+y^2}[/tex]
E devo verificare che sia 0, a questo punto, come si può fare per i limiti delle funzioni ad una sola variabile non vedo perchè non qui, l'ho scritto come:
[tex]\frac{e^{xy^2}-1}{xy^2}*\frac{xy^2}{x^2+y^2}[/tex]
E non è cambiato niente in teoria....allora dato che il limite notevole mi dà uno mi dovrebbe rimanere:
[tex]\frac{xy^2}{x^2+y^2}[/tex]
che ho trattato come puoi vedere sopra....è questo quello che ho fatto...
nella verifica, non sono passaggi che puoi dare per scontati quelli dove moltiplichi e dividi per xy^2. e ti ripeto di stare attento ai valori assoluti, perchè non è vero, come vedo sopra, che $|xy| = x|y|$.. forse volevi scrivere $|xy^2| = |x|y^2$: in questo caso va bene.
Ah...quindi non posso moltiplicare e dividere come per i limiti ad una sola variabile?
Scusami ma non saprei come procedere allora....senza fare come ho fatto io...
Scusami ma non saprei come procedere allora....senza fare come ho fatto io...
sì che puoi farlo (finchè moltiplichi per 1, sia chiaro), solo che devi "ripartire" daccapo. non puoi dare per scontata la parte che tende ad 1, ma basta solo che riscrivi i passaggi, sennò uno pensa che la f sia $(xy^2)/(x^2+y^2)$
"Darèios89":
Il mio limite è:
[tex]\frac{e^{xy^2}-1}{x^2+y^2}[/tex]
E devo verificare che sia 0, a questo punto, come si può fare per i limiti delle funzioni ad una sola variabile non vedo perchè non qui, l'ho scritto come:
[tex]\frac{e^{xy^2}-1}{xy^2}*\frac{xy^2}{x^2+y^2}[/tex]
E non è cambiato niente in teoria....allora dato che il limite notevole mi dà uno mi dovrebbe rimanere:
[tex]1*\frac{xy^2}{x^2+y^2}[/tex]
che ho trattato come puoi vedere sopra....è questo quello che ho fatto...
Scrivendo così i passaggi dovrebbe andare bene no?
[tex]0\leq \frac{y^2}{x^2+y^2}|x|\leq 1\ldot|x|[/tex] [tex]\forall (x,y) \in\mathbb{R}^2\setminus (0,0)[/tex]
E per il teorema del confronto dovrebbe fare 0 e quindi la funzione dovrebbe essere continua nell'origine.
Secondo te ho fatto errori?
Inoltre tu dicevi di fare il lavoro una volta sola, ma quello se vedo che la funzione non è continua o derivabile, ma in questo caso devo farli tutti i calcoli fino alla differenziabilità
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