Continuità, Differenziabilità e Derivabilità

[m3c4]

SAlve a tutti, ho un paio di domande e spero possiate aiutarmi a trovare la risposta.
Siamo in $R^2$, si assume di parlare solo di f(x,y) e i punti in questione sono ($x_0$,$y_0$).

1) Continuità
se io devo verificare che una f è continua in un punto è giusto dire che se il $lim_((x,y)->(x_0,y_0))f (x,y)=f (x_0,y_0)$ esiste allora f è continua? inoltre se è continua è differenziabile in tal punto?

nel caso non fosse continua (e dimostro con i vari metodi che tale limite non esiste) ammette derivate parziali in tal punto? è differenziabile in tale punto? è derivabile in tale punto?

2) studiare la derivabilità di f in un punto è la stessa cosa che chiedersi se f ammette derivate parziali in tale punto?

3) determinare il gradiente di f in un punto, correggetemi se sbaglio, è trovare il gradiente della f e sostituire x e y con i valori del punto, giusto?

4)se mi viene chiesto di prolungare in modo continuo una f, che devo fare? calcolare il limite come al punto 1) ? ma poi che risultato avrò?

grazie mille a tutti!!

[m3c4]

Ma non è che siete in ferie?!!?!?

[Seneca1]

2) No (studia il teorema del differenziale totale).

3) Sì.

4) Definisci una nuova funzione $g$ che vale $f(x,y)$ fuori dal punto $(x_0, y_0)$ e vale $lim_((x,y) -> (x_0 , y_0)) f(x,y)$ in $(x_0, y_0)$. Questa funzione è il prolungamento di $f$ nel punto $(x_0, y_0)$.

[Brancaleone1]

"m3c4":
1) Continuità
se io devo verificare che una f è continua in un punto è giusto dire che se il $lim_((x,y)->(x_0,y_0))f (x,y)=f (x_0,y_0)$ esiste allora f è continua?

Sì è giusto.

"m3c4":inoltre se è continua è differenziabile in tal punto?

Non è detto: potrebbe anche esserlo, ma la continuità da sola non è sufficiente (la continuità non implica la differenziabilità).

"m3c4":nel caso non fosse continua (e dimostro con i vari metodi che tale limite non esiste) ammette derivate parziali in tal punto? è differenziabile in tale punto? è derivabile in tale punto?

Mentre sai che il fatto che una funzione sia continua ciò non ne implica la differenziabilità, sai però che una funzione differenziabile è sicuramente continua. Quindi se una funzione non è continua allora essa non può essere differenziabile, perché se lo fosse dovrebbe anche essere continua; e se non è differenziabile allora non esistono neanche le derivate parziali (né quindi quelle direzionali...)

"m3c4":3) determinare il gradiente di f in un punto, correggetemi se sbaglio, è trovare il gradiente della f e sostituire x e y con i valori del punto, giusto?

Sì.

"m3c4":4)se mi viene chiesto di prolungare in modo continuo una f, che devo fare? calcolare il limite come al punto 1) ? ma poi che risultato avrò?

Prolungare per continuità una funzione in un certo punto $(x_0, y_0)$ significa verificare che il limite della funzione per quel punto esiste ed è finito. Se il limite diverge o non esiste allora la funzione non è prolungabile per continuità.