Continuità, differenziabilità e $C^1$

[Gatto891]

Dopo aver fatto le dimostrazioni $C \larr \text{Differenziabile} \larr C^1$ stavo cercando controesempi per cui non valgono le implicazioni inverse.

Come funzione continua e non differenziabile, ho

$f(x)={((\sqrt(x^2+y^2)x^3y)/(x^6 +y^2),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x, y)=(0,0)):}$
che proprio per come è costruita dovrebbe venire continua ma non differenziabile.

Invece per la funzione differenziabile ma non $C^1$ anche dopo averci pensato su non ho trovato nulla... idee?

[dissonance]

"Gatto89":Come funzione continua e non differenziabile, ho

$f(x)={((\sqrt(x^2+y^2)x^3y)/(x^6 +y^2),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x, y)=(0,0)):}$

Perché così complicata? Ti consiglio la classica $f(x, y)={(x^3/(x^2+y^2), (x, y)!=(0,0)), (0, (x, y)=(0,0)):}$, che è continua e derivabile lungo ogni curva regolare passante per l'origine ma non è differenziabile. Per l'esempio che cercavi di funzione differenziabile ma non di classe $C^1$ ti conviene scendere di una dimensione: pensa ad una funzione $RR\toRR$ derivabile ma con la derivata non continua.

[gugo82]

Scusa Gatto, ma le implicazioni non devono essere rovesciate all'inizio del tuo post?

[Luca.Lussardi]

Per una funzione differenziabile ma non $C^1$ in $\RR^2$ è facilissimo: ne prendi una nota da $\RR$ a $\RR$ e ruoti il suo grafico ottenendo una superficie grafico di una funzione differenziabile ma non $C^1$.

[Gatto891]

Ringrazio tutti e 3 per le risposte (@Gugo: corretto la svista )

In effetti mi ero dimenticato che posso considerare anche ricondurmi al caso reale, quindi volendo posso prendere la funzione $f(x, y) = x^2sin(1/x) + y$ che dovrebbe verificare le ipotesi...