Continuità di una funzione integrale
Ho fatto l'esame di Analisi 1 Lunedì, e c'era un esercizio che aveva questo punto:
Data la funzione $f(x) = \int_{x}^{x^2} 1/ln(t) dt$ definita nell'intervallo $(0,+oo]$ $x != 1$, dimostrare che si può estendere la continuità in $x = 1$.
Io ho fatto così:
Per il Teorema fondamentale del calcolo integrale, $f(1) = 0$, e poichè $\lim_{n \to {1^+}} f(x) = {1^+}$
allora in $x = 1$ si può estendere la continuità della funzione $f(x)$.
La professoressa mi ha detto che non va bene, ed in effetti ha ragione, perchè $f(t)$ non è definità in $t = 1$, e quindi non ci posso applicare tale teorema.
Resta il fatto che non so come si possa fare altrimenti....
Potreste aiutarmi?
Grazie!!
Data la funzione $f(x) = \int_{x}^{x^2} 1/ln(t) dt$ definita nell'intervallo $(0,+oo]$ $x != 1$, dimostrare che si può estendere la continuità in $x = 1$.
Io ho fatto così:
Per il Teorema fondamentale del calcolo integrale, $f(1) = 0$, e poichè $\lim_{n \to {1^+}} f(x) = {1^+}$
allora in $x = 1$ si può estendere la continuità della funzione $f(x)$.
La professoressa mi ha detto che non va bene, ed in effetti ha ragione, perchè $f(t)$ non è definità in $t = 1$, e quindi non ci posso applicare tale teorema.
Resta il fatto che non so come si possa fare altrimenti....
Potreste aiutarmi?
Grazie!!
Risposte
Lo studio della sommabilità dell'integrando in $1$ l'hai fatto?
Che cos'è lo studio della sommabilità dell'integrale? Magari io lo chiamo in un altro modo..
Mai sentito parlare di "integrale improprio"? E della sommabilità di una funzione non limitata intorno ad un punto?
Sai come si fa a stabilire, ad esempio, che $(cosx)/x$ non è integrabile in $[0,1]$?
Se sì, continuiamo a discuterne; altrimenti penso sia meglio se apri un buon libro di Analisi e te lo metti a studiare.
Sai come si fa a stabilire, ad esempio, che $(cosx)/x$ non è integrabile in $[0,1]$?
Se sì, continuiamo a discuterne; altrimenti penso sia meglio se apri un buon libro di Analisi e te lo metti a studiare.
Però la funzione intergranda non è sommabile il $x=1$ perchè va all'infinito come $1/x$ che non è sommabile.
Cioè:
$lim_(x->1) (1/ln(x))/(1/(1-x))=-1$
Sbaglio?
Cioè:
$lim_(x->1) (1/ln(x))/(1/(1-x))=-1$
Sbaglio?
So cos'è un integrale improprio, e so calcolare la convergenza di un integrale improprio, oltre a calcolarne il valore, nel caso converga (nel caso diverga mi sembra quasi ovvio), ma la sommabilità di una funzione non so cosa sia....ti posto il link del programma svolto da noi quest'anno ad analisi, così, per piacere, guardi se noi l'abbaimo chiamata in un altro modo durante l'anno e per questo non capisco cos'è.
http://web.math.unifi.it/users/mascolo/ ... -08-09.pdf
Attendo una tua risposta, Gugo82.
Grazie!!
http://web.math.unifi.it/users/mascolo/ ... -08-09.pdf
Attendo una tua risposta, Gugo82.
Grazie!!
Sommabilità = assoluta integrabilità.
Riformulo la domanda: hai studiato l'assoluta integrabilità della funzione integranda in $1$?
Riformulo la domanda: hai studiato l'assoluta integrabilità della funzione integranda in $1$?
ah, ora ho capito!!! Noi l'abbiamo sempre chiamata in un altro modo, per questo non capivo cos'era!! (prenderò atto che si chiama anche sommabilità)
Allora, io per vedere l'asoluta integrabilità di $f(t)$ nell'intervallo $[1,+oo)$ ho dovuto verificare che fosse integrabile la funzione $|f(t)|$ nell'intervallo $(1,+oo)$. (dimmi se sbaglioa fare così)
Poichè $f(t) > 0 AAt \in (1,+oo)$, ho studiato semplicemente se fosse integrabile la funzione $f(t)$ in $(1,+oo)$, anzichè il suo valore assoluto, ed ho notato che è convergente.
Da qui ne ho dedotto che fosse integrabile in $[1,+oo)$ e poi ho tirato la conclusione come detto nel primo post....
Dov'è che ho sbagliato? cos'è che non va bene?
Grazie!!
Allora, io per vedere l'asoluta integrabilità di $f(t)$ nell'intervallo $[1,+oo)$ ho dovuto verificare che fosse integrabile la funzione $|f(t)|$ nell'intervallo $(1,+oo)$. (dimmi se sbaglioa fare così)
Poichè $f(t) > 0 AAt \in (1,+oo)$, ho studiato semplicemente se fosse integrabile la funzione $f(t)$ in $(1,+oo)$, anzichè il suo valore assoluto, ed ho notato che è convergente.
Da qui ne ho dedotto che fosse integrabile in $[1,+oo)$ e poi ho tirato la conclusione come detto nel primo post....
Dov'è che ho sbagliato? cos'è che non va bene?
Grazie!!
Guarda, non credo proprio che $1/(ln t)$ sia sommabile in $+oo$... Fai bene i conti.
Ma ad ogni modo, non ti interessa tanto guardare cosa succede in $+oo$, visto che il problema è:
"Stabilire se:
$lim_(x \to 1^+) \int_x^(x^2) 1/(ln t)" d"t$ e $lim_(x\to 1^(-))\int_x^(x^2) 1/(ln t)" d"t$
esistono finiti ed uguali".
Per risolvere il problema ti converrebbe distinguere i due casi $x\to 1^+$ ed $x\to 1^-$ (di modo che, rispettivamente, $x>1$ ed $x<1$) e ricordare la proprietà additiva degli integrali:
$\int_x^y f(t)" d"t=\int_z^y f(t)" d"t-\int_z^x f(t)" d"t$.
Ma ad ogni modo, non ti interessa tanto guardare cosa succede in $+oo$, visto che il problema è:
"Stabilire se:
$lim_(x \to 1^+) \int_x^(x^2) 1/(ln t)" d"t$ e $lim_(x\to 1^(-))\int_x^(x^2) 1/(ln t)" d"t$
esistono finiti ed uguali".
Per risolvere il problema ti converrebbe distinguere i due casi $x\to 1^+$ ed $x\to 1^-$ (di modo che, rispettivamente, $x>1$ ed $x<1$) e ricordare la proprietà additiva degli integrali:
$\int_x^y f(t)" d"t=\int_z^y f(t)" d"t-\int_z^x f(t)" d"t$.
si, hai ragione, non è sommabile in $+oo$!!
Provo a seguire la strada che dici, e poi nel caso ti faccio sapere, comunque, calcolando il $\lim_{n \to 1^+}f(x)$ e $\lim_{n \to 1^-}f(x)$ , (supponendo che diano lo stesso risultato), ho dimostrato che la funzione $f(x)$ ha una discontinuità eliminabile in $x = 1$, giusto?
Grazie della dritta!!
Provo a seguire la strada che dici, e poi nel caso ti faccio sapere, comunque, calcolando il $\lim_{n \to 1^+}f(x)$ e $\lim_{n \to 1^-}f(x)$ , (supponendo che diano lo stesso risultato), ho dimostrato che la funzione $f(x)$ ha una discontinuità eliminabile in $x = 1$, giusto?
Grazie della dritta!!
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