Continuità di una funzione in due variabili
devo studiare la continuità di questa funzione:
$f(x,y)=(cos(sqrt(x^2+y^2))-1)/(sqrt(x^2+y^2))$
Come prima cosa diciamo che la funzione è definita in $D= R^2\backslash{(0,0)}$
La funzione è continua nel dominio D poichè rapporto di funzioni continue, infatti avremo
$lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0)$
Quindi devo studiare la continuità nell' origine e questo significa dimostrare che :
$lim_{(x,y)->(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0$
Calcolo il limite restringendo alla curva $y=x$
$lim_{(x,y)->(0,0)} (cos(sqrt(x^2+y^2))-1)/(sqrt(x^2+y^2))=lim_{(x,y)->(0,0)} (cos(sqrt(x^2+x^2))-1)/(sqrt(x^2+x^2))=lim_{(x,y)->(0,0)} (cos(sqrt(2x^2))-1)/(sqrt(2x^2))=0$
Ora devo dimostrare l'esistenza del limite :procediamo per coordinate polari ponendo
$x=\rho cos\theta$
$y=\rho sin\theta$
allora devo dimostare che il modulo della differenza sia minore di $g(\rho)$
$|(cos(\rho)-1)/(\rho)-0|<=$
ma non saprei con cosa metterla a confronto...
$f(x,y)=(cos(sqrt(x^2+y^2))-1)/(sqrt(x^2+y^2))$
Come prima cosa diciamo che la funzione è definita in $D= R^2\backslash{(0,0)}$
La funzione è continua nel dominio D poichè rapporto di funzioni continue, infatti avremo
$lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0)$
Quindi devo studiare la continuità nell' origine e questo significa dimostrare che :
$lim_{(x,y)->(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0$
Calcolo il limite restringendo alla curva $y=x$
$lim_{(x,y)->(0,0)} (cos(sqrt(x^2+y^2))-1)/(sqrt(x^2+y^2))=lim_{(x,y)->(0,0)} (cos(sqrt(x^2+x^2))-1)/(sqrt(x^2+x^2))=lim_{(x,y)->(0,0)} (cos(sqrt(2x^2))-1)/(sqrt(2x^2))=0$
Ora devo dimostrare l'esistenza del limite :procediamo per coordinate polari ponendo
$x=\rho cos\theta$
$y=\rho sin\theta$
allora devo dimostare che il modulo della differenza sia minore di $g(\rho)$
$|(cos(\rho)-1)/(\rho)-0|<=$
ma non saprei con cosa metterla a confronto...
Risposte
Ciao mari.98,
Il limite proposto è un limite notevole:
$ \lim_{\rho \to 0}(1 - cos\rho)/(\rho) = 0 $
D'altronde si ha:
$ \lim_{\rho \to 0}(1 - cos\rho)/(\rho) = \lim_{\rho \to 0}(1 - cos\rho)/(\rho) \cdot (1 + cos\rho)/(\rho) \cdot (\rho)/(1 + cos\rho) = \lim_{\rho \to 0} (sin^2\rho)/(\rho^2) \cdot (\rho)/(1 + cos\rho) = 1 \cdot 0 = 0 $
Il limite proposto è un limite notevole:
$ \lim_{\rho \to 0}(1 - cos\rho)/(\rho) = 0 $
D'altronde si ha:
$ \lim_{\rho \to 0}(1 - cos\rho)/(\rho) = \lim_{\rho \to 0}(1 - cos\rho)/(\rho) \cdot (1 + cos\rho)/(\rho) \cdot (\rho)/(1 + cos\rho) = \lim_{\rho \to 0} (sin^2\rho)/(\rho^2) \cdot (\rho)/(1 + cos\rho) = 1 \cdot 0 = 0 $
Quindi una volta che passo in coordinate polari basta dimostrare che il limiti della funzione in coordinate polari faccia zero uniformemente in $\theta$ ,senza necessariamente applicare il teorema del confronto?
"mari.98":
ma non saprei con cosa metterla a confronto...
Guarda che la funzione che hai scritto in modulo è già una funzione della sola $\rho = sqrt{x^2 + y^2} $
Se vuoi puoi scrivere $ |(cos\rho-1)/(\rho)-0| = (sin^2\rho)/\rho^2 \cdot |\rho|/(1 + cos\rho) $, ma non è che cambi un gran che...
\( f \) non è definita in zero; devi tweakare il ragionamento per evitare di scrivere “\( f(0,0) \)”.
@marco2132k
La tua osservazione è corretta, avevo dato per scontata (e forse non avrei dovuto farlo...), la ridefinizione
$f^{star}(x, y) := {(f(x,y) \text{ se } (x,y) \ne (0, 0)), (0 \text{ se } (x,y) = (0, 0)):} $
ma perché poi scrivi orrori come
"tweakare" non esiste né in inglese né in italiano: usa l'inglese o l'italiano (modificare sarebbe andato benone... ), non un orrendo miscuglio delle due lingue...
Altrimenti come
mari.98 potrebbe ribatterti che la parola "tweakare" non è definita proprio...
La tua osservazione è corretta, avevo dato per scontata (e forse non avrei dovuto farlo...), la ridefinizione
$f^{star}(x, y) := {(f(x,y) \text{ se } (x,y) \ne (0, 0)), (0 \text{ se } (x,y) = (0, 0)):} $
ma perché poi scrivi orrori come
"marco2132k":
devi tweakare il ragionamento
"tweakare" non esiste né in inglese né in italiano: usa l'inglese o l'italiano (modificare sarebbe andato benone...
), non un orrendo miscuglio delle due lingue...Altrimenti come
"marco2132k":
$f$ non è definita in zero;
mari.98 potrebbe ribatterti che la parola "tweakare" non è definita proprio...
@pilloeffe: anche a me non piacciono, ma "tweakare", "boundare", "spannare" etc, etc... sono termini che purtroppo hanno preso piede. "Come hai boundato questo operatore, sulla retta spannata dal fibrato triviale?" 
C'è da dire che un po' è comprensibile, significa che uno è abituato ai termini inglesi, il che è un bene.
C'è da dire che un po' è comprensibile, significa che uno è abituato ai termini inglesi, il che è un bene.
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