Continuità di una funzione in due variabili

[asker993]

Ciao, non riesco a capire come faccia questa funzione ad essere derivabile nell'origine, ora vi mostro come ho ragionato:

sia $f(x.y)=(x^2-y^2)(sen(1/(x^2+y^2)))$ se $(x,y)!=(0,0)$ $0$ se $(x,y)=(0,0)$

Dunque, passando in coordinate polari e facendo le giuste maggiorazioni ho trovato che la funzione è continua in tutto $R^2$ origine compreso, poi ho provato a vedere se le derivate esistevano nell'orgine (fuori esistono sicuramente) e ho proceduto così:
derivando rispetto ad $x$ e considerando dunque $y$ come costante, la posso gia imporre uguale a $0$ e derivare tranquillamente rispetto ad $x$:
$fx(x,0)=d/dx((x^2(sen(1/x^2)))/)=2xsen(1/x^2) -2cos(1/x^2)/x$ ora, facendo tendere $x->0$ come in un limite ottengo che la derivata rispetto ad $x$ non esiste (la funzione viene sparata a $-$infinito se non sbaglio)...il risultato dovrebbe essere che è derivabile anche nell'origine rispetto ad $x$...ma come è possibile?

[stormy1]

è sempre meglio applicare la definizione
$f_x(0,0)= lim_(h -> 0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h=lim_(h -> 0) hsen(1/h^2)=0 $

[asker993]

grazie della risposta...dunque quello che ho adottato io è un metodo giusto ma che può "fallire"? Perchè sarebbe comodo da usare quello rispetto la definizione, se però mi fa sbagliare non lo uso più...

[stormy1]

nell'applicare il tuo metodo hai dato per scontato che
$ lim_(x -> 0) f_x(x,0)=f(0,0) $ ,il che in generale non è detto

[asker993]

non ho capito, potresti essere un pò più chiaro? Io ho pensato che non lo do per scontato, o meglio, se il limite esiste allora esiste altrimenti no...

[stormy1]

quello che intendo è che siccome dovevi verificare l'esistenza di $f_x(0,0)$ ,se hai fatto il limite di $f_x(x,0)$ è perchè volevi arrivare a $f_x(0,0)$ con questo limite; altrimenti, perchè hai calcolato il limite ?
comunque,come hai visto ,il tuo metodo in generale è sbagliato per il motivo che ho esposto nel post precedente