Continuità di una funzione di due variabili in $R^2$
Ciao a tutti,
Ho una serie di dubbi riguardo il seguente esercizio, potete dargli un occhiata?
Si tratta di studiare la continuità di $F(x,y)=(F_1(x,y), F_2(x,y))$ dove le due funzioni sono:
$F_1(x,y)={(0,if y = x^2),((x^2+y)/(x^2-y),if y != x^2):}$
$F_2(x,y)={(0,if x^2+y^2 = 0),((x^2-y)*sin(1/(x^2+y^2)),if x^2+y^2 != 0):}$
Io ho supposto che la funzione $F(x,y)$ è continua per tutti quei punti di $R^2$ in cui entrambe le funzioni $F_1(x,y)$ e $F_2(x,y)$ sono continue.
E' giusto così?
Ho continuato studiando la continuità delle due funzioni e mi risulta che $F_2(x,y)$ è continua per qualsiasi punto di $R^2$ perchè l'unico punto in cui si verifica la condizione $x^2+y^2=0$ è $(0,0)$ dove il limite, passando alle coordinate polari con $r->0$ risulta $0$. Ecco i calcoli nel dettaglio:
$x=rcos(θ)$, $0<=r<+∞$
$y=rsin(θ)$, $0<=θ<=2π$
E quindi il limite viene:
$\lim_{r \to \0} (r^2cos(θ)-rsin(θ))sin(1/r^2) = \lim_{r \to \0} r(rcos(θ)-sin(θ))sin(1/r^2) = 0$
Perchè le funzioni seno/coseno sono limitate. Ho sbagliato qualcosa?
Per quanto riguarda la funzione $F_1(x,y)$ ho trovato che in $(0,0)$ la funzione non è continua ma presenta un salto in quanto calcolando il limite seguendo 2 percorsi diversi, questo risulta differente. Di seguito i calcoli nel dettaglio:
$\lim_{(x,y) \to \(x,0)} (x^2+y)/(x^2-y) = \lim_{(x,y) \to \(x,0)} (x^2)/(x^2) = 1$, in quanto $x$ non è nullo ma vi tende.
$\lim_{(x,y) \to \(0,y)} (x^2+y)/(x^2-y) = \lim_{(x,y) \to \(0,y)} (y)/(-y) = -1$, in quanto $y$ non è nullo ma vi tende.
Credo di aver confermato la discontinuità in $(0,0)$ passando alle coordinate polari... Il limite risulta $-1$ che differisce dal valore di $F_1(0,0)=0$.
Ho due domande...
1) Ho sbagliato qualcosa?
2) Come faccio a studiare la continuità di $F_1(x,y)$ per tutti gli altri valori di $y=x^2$?
Grazie a tutti in anticipo!
Ho una serie di dubbi riguardo il seguente esercizio, potete dargli un occhiata?
Si tratta di studiare la continuità di $F(x,y)=(F_1(x,y), F_2(x,y))$ dove le due funzioni sono:
$F_1(x,y)={(0,if y = x^2),((x^2+y)/(x^2-y),if y != x^2):}$
$F_2(x,y)={(0,if x^2+y^2 = 0),((x^2-y)*sin(1/(x^2+y^2)),if x^2+y^2 != 0):}$
Io ho supposto che la funzione $F(x,y)$ è continua per tutti quei punti di $R^2$ in cui entrambe le funzioni $F_1(x,y)$ e $F_2(x,y)$ sono continue.
E' giusto così?
Ho continuato studiando la continuità delle due funzioni e mi risulta che $F_2(x,y)$ è continua per qualsiasi punto di $R^2$ perchè l'unico punto in cui si verifica la condizione $x^2+y^2=0$ è $(0,0)$ dove il limite, passando alle coordinate polari con $r->0$ risulta $0$. Ecco i calcoli nel dettaglio:
$x=rcos(θ)$, $0<=r<+∞$
$y=rsin(θ)$, $0<=θ<=2π$
E quindi il limite viene:
$\lim_{r \to \0} (r^2cos(θ)-rsin(θ))sin(1/r^2) = \lim_{r \to \0} r(rcos(θ)-sin(θ))sin(1/r^2) = 0$
Perchè le funzioni seno/coseno sono limitate. Ho sbagliato qualcosa?
Per quanto riguarda la funzione $F_1(x,y)$ ho trovato che in $(0,0)$ la funzione non è continua ma presenta un salto in quanto calcolando il limite seguendo 2 percorsi diversi, questo risulta differente. Di seguito i calcoli nel dettaglio:
$\lim_{(x,y) \to \(x,0)} (x^2+y)/(x^2-y) = \lim_{(x,y) \to \(x,0)} (x^2)/(x^2) = 1$, in quanto $x$ non è nullo ma vi tende.
$\lim_{(x,y) \to \(0,y)} (x^2+y)/(x^2-y) = \lim_{(x,y) \to \(0,y)} (y)/(-y) = -1$, in quanto $y$ non è nullo ma vi tende.
Credo di aver confermato la discontinuità in $(0,0)$ passando alle coordinate polari... Il limite risulta $-1$ che differisce dal valore di $F_1(0,0)=0$.
Ho due domande...
1) Ho sbagliato qualcosa?
2) Come faccio a studiare la continuità di $F_1(x,y)$ per tutti gli altri valori di $y=x^2$?
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Pure se consideri per$F_1$ la restrizione a qualunque retta parallela all'asse $Y$, $x=c,c!=0$,
vedi che, per $y\toc^2$, la funzione tende a $+\infty$. Per cui continua non è.
Non mi sembra che tu abbia sbagliato qualcosa. Non riesco a leggere una forumula, ma
il limite per $F_2$ anche a me viene $o$ perchè il modulo, tendente a zero, moltiplica appunto funzioni limitate.
vedi che, per $y\toc^2$, la funzione tende a $+\infty$. Per cui continua non è.
Non mi sembra che tu abbia sbagliato qualcosa. Non riesco a leggere una forumula, ma
il limite per $F_2$ anche a me viene $o$ perchè il modulo, tendente a zero, moltiplica appunto funzioni limitate.
Grazie per la risposta, sapresti rassicurarmi sulla supposizione che $F(x,y)$ è continua per tutti quei punti di $R^2$ in cui sia $F_1(x,y)$ che $F_2(x,y)$ sono continue?
Sì: sono semplici le idee per
le funzioni vettoriali. Hanno
limite per un argomento se tutte le funzioni componenti ammettono limite;
sono continue se tutte le componenti lo sono, etc.
le funzioni vettoriali. Hanno
limite per un argomento se tutte le funzioni componenti ammettono limite;
sono continue se tutte le componenti lo sono, etc.
Grazie mille!!!
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