Continuità di una funzione di 2variabili
Salve a tutti ragazzi sto avendo qualche problema nel calcolare la Continuità in $(1,0)$ della seguente funzione $ f(x,y)= (y*sqrt(|x-1|^a)) / (x^2 +y^2 -2x +1) $ con $a>0$
per controllare se è continua in quell'intervallo ho fatto i seguenti passaggi:
1)devo controllare se $ lim _((x,y)->(1,0)) (y*sqrt(|x-1|^a)) / (x^2 +y^2 -2x +1) $ ho pensato così di usare le coordinate polari e quindi $ { ( x=x0 + ro*cos(t) ),( y=y0 + ro*sin(t) ):} $
2) fatte le dovute semplificazioni ottengo: $sin(t)*(sqrt(|cos(t)|^a))/(ro + 2(cos(t)))
3)ho pensato di maggiorare questo valore con: $sin(t)*(|cos(t)|^a)/(ro + 2(cos(t)))$ però qui mi sono bloccato è non so come potrei continuare. Voi che ne pensate???Fatemi sapere. grazie mille a tutti.
EDIT:
Ragazzi ditemi se queste maggiorazioni che ho fatto vanno bene:
1)$sin(t)*(|cos(t)|^a)/(ro + 2(cos(t)))$ potrei maggiorarlo con $(|cos(t)|^a )/(ro +2)$ che ancora potrebbe essere maggiorato con $1/(ro+2)$ quindi quando $ro -> 0 $ e $a>0$ la funzione non risulta essere continua nell'intervallo $(1,0)$ Secondo voi va bene questo ragionamento che ho fatto???
per controllare se è continua in quell'intervallo ho fatto i seguenti passaggi:
1)devo controllare se $ lim _((x,y)->(1,0)) (y*sqrt(|x-1|^a)) / (x^2 +y^2 -2x +1) $ ho pensato così di usare le coordinate polari e quindi $ { ( x=x0 + ro*cos(t) ),( y=y0 + ro*sin(t) ):} $
2) fatte le dovute semplificazioni ottengo: $sin(t)*(sqrt(|cos(t)|^a))/(ro + 2(cos(t)))
3)ho pensato di maggiorare questo valore con: $sin(t)*(|cos(t)|^a)/(ro + 2(cos(t)))$ però qui mi sono bloccato è non so come potrei continuare. Voi che ne pensate???Fatemi sapere. grazie mille a tutti.
EDIT:
Ragazzi ditemi se queste maggiorazioni che ho fatto vanno bene:
1)$sin(t)*(|cos(t)|^a)/(ro + 2(cos(t)))$ potrei maggiorarlo con $(|cos(t)|^a )/(ro +2)$ che ancora potrebbe essere maggiorato con $1/(ro+2)$ quindi quando $ro -> 0 $ e $a>0$ la funzione non risulta essere continua nell'intervallo $(1,0)$ Secondo voi va bene questo ragionamento che ho fatto???
Risposte
Quella funzione in (1,0) non è neanche definita... Forse vuoi verificare la continuità in (1,0) della funzione che vale [tex]f(x,y)[/tex]
in [tex]\mathbb{R}^2 \backslash \{(1,0)\}[/tex] (dove [tex]f(x,y)[/tex] è quella che hai scritto tu) e 0 in (1,0).
In questo caso, semplificando dopo esser passato a coordinate polari ottieni
[tex]\displaystyle \lim_{\rho \to 0^+} \rho^{\frac{a}{2}-1} \left|\cos t\right|^\frac{a}{2}\sin t.[/tex]
Avrai sbagliato i conti semplificando... Ora credo che puoi continuare da solo.
in [tex]\mathbb{R}^2 \backslash \{(1,0)\}[/tex] (dove [tex]f(x,y)[/tex] è quella che hai scritto tu) e 0 in (1,0).
In questo caso, semplificando dopo esser passato a coordinate polari ottieni
[tex]\displaystyle \lim_{\rho \to 0^+} \rho^{\frac{a}{2}-1} \left|\cos t\right|^\frac{a}{2}\sin t.[/tex]
Avrai sbagliato i conti semplificando... Ora credo che puoi continuare da solo.
"fireball":
Quella funzione in (1,0) non è neanche definita... Forse vuoi verificare la continuità in (1,0) della funzione che vale [tex]f(x,y)[/tex]
in [tex]\mathbb{R}^2 \backslash \{(1,0)\}[/tex] (dove [tex]f(x,y)[/tex] è quella che hai scritto tu) e 0 in (1,0).
In questo caso, semplificando dopo esser passato a coordinate polari ottieni
[tex]\displaystyle \lim_{\rho \to 0^+} \rho^{\frac{a}{2}-1} \left|\cos t\right|^\frac{a}{2}\sin t.[/tex]
Avrai sbagliato i conti semplificando... Ora credo che puoi continuare da solo.
Si scusatemi...ho sbagliato a non copiare il testo per intero!!comunque mi potresti spiegare come sei arrivato al risultato [tex]\displaystyle \lim_{\rho \to 0^+} \rho^{\frac{a}{2}-1} \left|\cos t\right|^\frac{a}{2}\sin t.[/tex]
perchè io ci sto provando ma non ci sto riuscendo!!Di seguito ti faccio vedere tutti i passaggi in modo da capire dove sto sbagliando:
$ (ro sin(t)*sqrt(|ro cos(t) +1 -1|^a))/(ro cos^2(t)+ (ro sin^2(t)) -2(ro cos(t) +1) +1 +1 $ che diventa:
$ (ro sin(t)*sqrt(|ro cos(t)|^a))/(ro^2*[(cos^2(t) + sin^2(t))] -2ro cos(t) $ metto in evidena ro al numeratore e al denominatore e ottengo:
$ (ro sin(t)*sqrt(|ro cos(t)|^a))/(ro*[ro*(cos^2(t) + sin^2(t)) -2cos(t)] $ semplifico quindi ro al numeratore e al denominatore e, considerando che $sin^2 (x) + cos^2(t) =1$ ottengo :
$ (sin(t)*sqrt(|ro cos(t)|^a))/(ro -2cos(t)) $
Comincio ora a usare delle maggiorazioni:
1) la radice la posso maggiorare con il suo argomento(il radicando)....così ottengo:$ (sin(t)*sqrt(|ro cos(t)|^a))/(ro -2cos(t)) <= (sin(t)*|ro|^a * |cos(t)|^a)/(ro -2cos(t)) $
2) il $|cos(t)| <=1 $ mi rimane quindi:
$(sin(t) *|ro|^a )/(ro-2cos(t))$ qui mi sono fermato....come potrei andare avanti??ma soprattutto dove sto sbagliando????Grazie.
Hai sbagliato a sostituire $x^2$ al denominatore, nel primo passaggio: devi mettere $(1+\rho cos(t))^2$... E poi non capisco il $+1+1$... C'è un solo 1.
"fireball":
Hai sbagliato a sostituire $x^2$ al denominatore, nel primo passaggio: devi mettere $(1+\rho cos(t))^2$... E poi non capisco il $+1+1$... C'è un solo 1.
Hai ragione.....che sciocco.....invece di fare il quadrato di binomio e quindi di mettere $(1+ro *cos(t))^2$ ho scritto $1^2 +( ro*cos(t))^2$ per questo trovavi il + 1 alla fine!!Grazie mille...era un errore stupidissimo che non mi stava facendo andare avanti!!
La prossima volta scriviti meglio il denominatore: se notavi che il denominatore si poteva scrivere come $(x-1)^2 +y^2$ risparmiavi un sacco di tempo... 
Introducendo la variabile ausiliaria [tex]$z=x-1$[/tex], il tutto si riconduce allo studio della continuità della funzione:
[tex]$g(z,y):=f(z+1,y)=\begin{cases} \frac{y\ |z|^{\frac{\alpha}{2}}}{z^2+y^2} &\text{, se $(z,y)\neq (0,0)$} \\ 0 &\text{, se $(z,y)=(0,0)$} \end{cases}$[/tex]...
P.S.: Please, l'avrò già detto mille volte: si dice "funzione di due variabili", non già "funzione a due variabili" (e lo stesso vale se le variabili son più di due...
).
[tex]$g(z,y):=f(z+1,y)=\begin{cases} \frac{y\ |z|^{\frac{\alpha}{2}}}{z^2+y^2} &\text{, se $(z,y)\neq (0,0)$} \\ 0 &\text{, se $(z,y)=(0,0)$} \end{cases}$[/tex]...
P.S.: Please, l'avrò già detto mille volte: si dice "funzione di due variabili", non già "funzione a due variabili" (e lo stesso vale se le variabili son più di due...
).
ho rifatto i conti e arrivo al punto che ho: $(sin(t)*(sqrt(|ro cos(t)|^a)))/(ro) $ ti volevo chiedere...sono lecite queste maggiorazioni: $(sin(t)*(sqrt(|ro cos(t)|^a)))/(ro) <=(sin(t)*|ro|^a | cos(t)|^a)/(ro) <= sin(t) *|ro|^(a-1) $ ??Sto commettendo qualche errore o no e posso passare al limite???
Sei arrivato al punto giusto. Adesso, $rho$ è positivo, quindi modulo o meno non cambia niente; se lo porti fuori
dalla radice ti rimane il limite che avevo scritto prima. A questo punto conviene maggiorare.
P.S. Devi cercare di maggiorare con una espressione che non dipende da t.
dalla radice ti rimane il limite che avevo scritto prima. A questo punto conviene maggiorare.
P.S. Devi cercare di maggiorare con una espressione che non dipende da t.
"fireball":
Sei arrivato al punto giusto. Adesso, $rho$ è positivo, quindi modulo o meno non cambia niente; se lo porti fuori
dalla radice ti rimane il limite che avevo scritto prima. A questo punto conviene maggiorare.
P.S. Devi cercare di maggiorare con una espressione che non dipende da t.
Questo è ciò che ho fatto:
1)arrivando alla funzione $sin(t)*(ro)^(a-1)$ vuol dire che $AA t in [0 , 2pi) -> lim_(ro->0) in f(ro,t)= 0 $ questo quando $a>1$
2)per valori di $a=1$ ho ripreso la funzione di partenza è l'ho studiata nelle restrizioni quindi $y=mx -> f(x,mx) = (mx*sqrt(|x-1|))/(x^2 + y^2 -2x +1)$
3)il $lim_(x->0) f(x,mx) = 0
4)per valori di $a<1 -> f(x,mx)= (mx*(sqrt(|x-1|^a)))/(x^2 + y^2 -2x +1)$questa la posso maggiorare con $((mx)*(x-1)^a)/((x-1)^2 + y^2 )$ quindi il $lim_(x->0) f(x,mx) = 0$ concordate o no???
Ma no... Ripeto: devi maggiorare con qualcosa che NON DIPENDE da t.
E' molto più semplice. Sei arrivato a [tex]\frac{\sin t\sqrt{|\rho\cos t|^a}}{\rho}[/tex] ? Bene,
riscrivitelo come [tex]\rho^{\frac{a}{2}-1} \left|\cos t\right|^\frac{a}{2}\sin t[/tex]. Adesso, questa quantità, per ogni [tex]t \in (0,2\pi)[/tex],
in valore assoluto è minore o uguale di [tex]\rho^{\frac{a}{2}-1}[/tex], pertanto, per il teorema del confronto,
se quest'ultima quantità tende a 0, anche l'espressione precedente tende a 0. E quand'è che quest'ultima quantità tende a 0? Per quali [tex]a[/tex]?
E' molto più semplice. Sei arrivato a [tex]\frac{\sin t\sqrt{|\rho\cos t|^a}}{\rho}[/tex] ? Bene,
riscrivitelo come [tex]\rho^{\frac{a}{2}-1} \left|\cos t\right|^\frac{a}{2}\sin t[/tex]. Adesso, questa quantità, per ogni [tex]t \in (0,2\pi)[/tex],
in valore assoluto è minore o uguale di [tex]\rho^{\frac{a}{2}-1}[/tex], pertanto, per il teorema del confronto,
se quest'ultima quantità tende a 0, anche l'espressione precedente tende a 0. E quand'è che quest'ultima quantità tende a 0? Per quali [tex]a[/tex]?
"fireball":
Ma no... Ripeto: devi maggiorare con qualcosa che NON DIPENDE da t.
E' molto più semplice. Sei arrivato a [tex]\frac{\sin t\sqrt{|\rho\cos t|^a}}{\rho}[/tex] ? Bene,
riscrivitelo come [tex]\rho^{\frac{a}{2}-1} \left|\cos t\right|^\frac{a}{2}\sin t[/tex]. Adesso, questa quantità, per ogni [tex]t \in (0,2\pi)[/tex],
in valore assoluto è minore o uguale di [tex]\rho^{\frac{a}{2}-1}[/tex], pertanto, per il teorema del confronto,
se quest'ultima quantità tende a 0, anche l'espressione precedente tende a 0. E quand'è che quest'ultima quantità tende a 0? Per quali [tex]a[/tex]?
Per valori di a >2! ma ascolta una cosa quando scrivo:
ho rifatto i conti e arrivo al punto che ho: $(sin(t)*(sqrt(|ro cos(t)|^a)))/(ro) $ ti volevo chiedere...sono lecite queste maggiorazioni: $(sin(t)*(sqrt(|ro cos(t)|^a)))/(ro) <=(sin(t)*|ro|^a | cos(t)|^a)/(ro) <= sin(t) *|ro|^(a-1) $ ??Sto commettendo qualche errore o no e posso passare al limite???questa maggiorazione va bene o no??inoltre potrei ancora maggiorare con $ro^(a-1)$??
A occhio e croce non mi sembrano lecite... Anzi, tieni conto che per $0<=x<=1$, si ha $sqrtx >= x$ (e noi stiamo facendo tendere $rho$ a zero), per cui sono proprio sbagliate...
Ti ringrazio molto per l'aiuto che mi hai dato!!ho cominciato da pochissimo questo tipo di funzioni e le maggiorazioni per questo direi che mi hai dato dei consigli preziosi! ci sentiamo al prox esericizio che non mi quadra!!
ci sentiamo al prox esericizio che non mi quadra!!
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