Continuità di una funzione definita a tratti definita mediante una funzione integrale
Ciao a tutti.
Vorrei chiedervi qualche consiglio su come risolvere il seguente esercizio:
Consideriamo la funzione
\( f(x):=
\begin{cases}
\displaystyle\int_{\frac{1}{x}}^{+\infty}\frac{|\ln(|t|)|^{\frac{1}{3}}}{(t^2+t+1)}dt & \text{se $x\ne0$}\\
0 & \text{se $x=0$}\\
\end{cases} \)
La richiesta è:
$\text{f ammette primitiva in [-1,1]?}$
In $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ sicuramente la funzione è continua visto che è definita da una funzione integrale. Allora vado a controllare nel punto $0$.
$lim_{x\to 0^+} f(x)=\int_{+\infty}^{+\infty}\frac{|\ln(|t|)|^{\frac{1}{3}}}{(t^2+t+1)}dt=0$
Tuttavia non riesco a capire come calcolare il
$lim_{x\to 0^-} f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{|\ln(|t|)|^{\frac{1}{3}}}{(t^2+t+1)}dt$, il quale, qualora facesse $0$, mi darebbe la continuità nel punto $0$ e quindi la continuità su $\mathbb{R}$. A questo punto potrei dire che f ammette primitiva su [-1,1] perché è ivi continua. Secondo voi sto procedendo correttamente? C'è un metodo migliore?
Vi ringrazio
PS: Vi chiedo di perdonare eventuali errori di gestione del post. Ho fatto un nuovo argomento perché non sapevo come catalogarlo visto che c'è una funzione integrale ma la richiesta è sulla continuità. E' il mio primo messaggio
Davide
Vorrei chiedervi qualche consiglio su come risolvere il seguente esercizio:
Consideriamo la funzione
\( f(x):=
\begin{cases}
\displaystyle\int_{\frac{1}{x}}^{+\infty}\frac{|\ln(|t|)|^{\frac{1}{3}}}{(t^2+t+1)}dt & \text{se $x\ne0$}\\
0 & \text{se $x=0$}\\
\end{cases} \)
La richiesta è:
$\text{f ammette primitiva in [-1,1]?}$
In $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ sicuramente la funzione è continua visto che è definita da una funzione integrale. Allora vado a controllare nel punto $0$.
$lim_{x\to 0^+} f(x)=\int_{+\infty}^{+\infty}\frac{|\ln(|t|)|^{\frac{1}{3}}}{(t^2+t+1)}dt=0$
Tuttavia non riesco a capire come calcolare il
$lim_{x\to 0^-} f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{|\ln(|t|)|^{\frac{1}{3}}}{(t^2+t+1)}dt$, il quale, qualora facesse $0$, mi darebbe la continuità nel punto $0$ e quindi la continuità su $\mathbb{R}$. A questo punto potrei dire che f ammette primitiva su [-1,1] perché è ivi continua. Secondo voi sto procedendo correttamente? C'è un metodo migliore?
Vi ringrazio
PS: Vi chiedo di perdonare eventuali errori di gestione del post. Ho fatto un nuovo argomento perché non sapevo come catalogarlo visto che c'è una funzione integrale ma la richiesta è sulla continuità. E' il mio primo messaggio
Davide
Risposte
Benvenuto nel forum Davide
Dubito fortemente che l'integrale $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sqrt{3}(|\ln(|t|)|)}{t^2+t+1}$ sia uguale a zero visto che la funzione integranda è non negativa su tutto $RR$. Dunque la $f$ è continua a destra ma non a sinistra, quindi non è continua questo suggerirebbe (ma non garantirebbe per quanto ne so io) l'esistenza della primitiva di $f$ in $[-1,1]$.
Dubito fortemente che l'integrale $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sqrt{3}(|\ln(|t|)|)}{t^2+t+1}$ sia uguale a zero visto che la funzione integranda è non negativa su tutto $RR$. Dunque la $f$ è continua a destra ma non a sinistra, quindi non è continua questo suggerirebbe (ma non garantirebbe per quanto ne so io) l'esistenza della primitiva di $f$ in $[-1,1]$.
La non esistenza*
Grazie. Giusta osservazione. Quindi a questo punto non posso concludere niente. Avevo provato con la continuità perché era una condizione sufficiente ma a quanto pare mi è andata male. Però a questo punto non saprei che fare.
"Davi90":
Grazie. Giusta osservazione. Quindi a questo punto non posso concludere niente. Avevo provato con la continuità perché era una condizione sufficiente ma a quanto pare mi è andata male. Però a questo punto non saprei che fare.
Ciao,
vista la domanda credo tu debba sapere che le funzioni con discontinuità a salto non ammettono primitiva (cfr. teorema di Darboux o valori intermedi per le derivate)...
"alessio76":
le funzioni con discontinuità a salto non ammettono primitiva (cfr. teorema di Darboux o valori intermedi per le derivate)...
Ammetto che non ero a conoscenza di questo teorema, in effetti quella discontinuità non eliminabile mi aveva messo un pò di dubbi circa il fatto che potesse implicare la non esistenza della primitiva, grazie per l'informazione.
Grazie. Anche io non conoscevo questo teorema.
Di nulla, può allora essere forse utile la lettura di questo...
http://www.batmath.it/corsi_uni/mat_uno ... arboux.pdf
di cui cito la parte che interessa:
"Questo teorema ha come conseguenza che la derivata di una funzione derivabile su un intervallo
non può avere “salti”, e quindi una funzione definita su un intervallo e che presenta qualche salto non
può essere la derivata di nessuna funzione definita sullo stesso intervallo (cioè non può avere primitive
nell’intervallo)."
http://www.batmath.it/corsi_uni/mat_uno ... arboux.pdf
di cui cito la parte che interessa:
"Questo teorema ha come conseguenza che la derivata di una funzione derivabile su un intervallo
non può avere “salti”, e quindi una funzione definita su un intervallo e che presenta qualche salto non
può essere la derivata di nessuna funzione definita sullo stesso intervallo (cioè non può avere primitive
nell’intervallo)."
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