Continuità di una funzione definita a tratti
sopportatemi, domani sarà tutto finito (spero 
)
data la funzione $f(x,y)={(yx^2sen(x^3/y^2),if y!=0),(0,if y=0):}$
ok... ho verificato che è continua in (0,0) calcolando i limiti destro e sinistro.
Poi mi chiede se ha derivate parziali, imitando gli appunti e il libro di testo, calcolo con i limiti le derivate parziali e mi risultano esistere... (limite finito)
Arriva il bello... è differenziabile? beh devo ancora lavorarci su, mi pare sia da sviluppare una formula... poi ci do una occhiata ma non è concettualmente difficile...
Arriva l'ancor più bello... è continua in tutto R2?
Fin'ora ho dimostrato che è continua in (0,0), nei punti per cui $y!=0$, la funzione è combinazione di funzioni continue, quindi a sua volta continua... per tutti gli altri punti diversi da (0,0) e con $y=0$ come la metto?
Ho provato a ragionarci... il seno è un valore sempre compreso tra -1 e 1, x^2 avrà un certo valore, y vale zero. Se faccio tendere y a 0 tenendo fermo x, ottengo 0 e quindi sembrerebbe continua per qualunque x.
Se però volessi torturarmi facendo tendere x a infinito (posso?) otterrei un doppio limite che mi porterebbe al prodotto tra: un infinitesimo di ordine 1, un infinito di ordine 2 e un valore compreso tra -1 e 1. Il risultato dovrebbe essere che per x che tende a infinito e y che tende a 0, ottengo infinito*seno e quindi una funzione oscillante all'infinito con ampiezza sempre maggiore.
Risultato="non è continua in tutto R"
Deduzione esatta o errata?
(stasera vi tormento)
grazie xD
) data la funzione $f(x,y)={(yx^2sen(x^3/y^2),if y!=0),(0,if y=0):}$
ok... ho verificato che è continua in (0,0) calcolando i limiti destro e sinistro.
Poi mi chiede se ha derivate parziali, imitando gli appunti e il libro di testo, calcolo con i limiti le derivate parziali e mi risultano esistere... (limite finito)
Arriva il bello... è differenziabile? beh devo ancora lavorarci su, mi pare sia da sviluppare una formula... poi ci do una occhiata ma non è concettualmente difficile...
Arriva l'ancor più bello... è continua in tutto R2?
Fin'ora ho dimostrato che è continua in (0,0), nei punti per cui $y!=0$, la funzione è combinazione di funzioni continue, quindi a sua volta continua... per tutti gli altri punti diversi da (0,0) e con $y=0$ come la metto?
Ho provato a ragionarci... il seno è un valore sempre compreso tra -1 e 1, x^2 avrà un certo valore, y vale zero. Se faccio tendere y a 0 tenendo fermo x, ottengo 0 e quindi sembrerebbe continua per qualunque x.
Se però volessi torturarmi facendo tendere x a infinito (posso?) otterrei un doppio limite che mi porterebbe al prodotto tra: un infinitesimo di ordine 1, un infinito di ordine 2 e un valore compreso tra -1 e 1. Il risultato dovrebbe essere che per x che tende a infinito e y che tende a 0, ottengo infinito*seno e quindi una funzione oscillante all'infinito con ampiezza sempre maggiore.
Risultato="non è continua in tutto R"
Deduzione esatta o errata?
(stasera vi tormento)
grazie xD
Risposte
e perché devi fare tendere x a infinito? se devi verificare che $f$ è continua in $RR^2$ a che ti serve?
a me comunque quella funzione pare continua: credo che tu sbagli nel calcolare limiti per $y->0$. Quello che devi fare è calcolare, $\forall x_0\inRR$, $lim_{(x,y)->(x_{0},0)}f(x,y)$. Io procederei così: quando $y!=0$, $0<=|yx^2sin(x^3/y^2)|<=|yx^2|$, e per $y=0$, $f(x,y)=0$. Perciò, $\forall(x,y)$: $0<=|f(x,y)|<=|yx^2|$, e la funzione $|yx^2|$ è notoriamente continua su $RR^2$, quindi $lim_{(x,y)->(x_{0},0)}|yx^2|=|0*x_0^2|=0$. E allora anche $lim_{(x,y)->(x_{0},0)}f(x,y)=0$, da cui consegue che $f$ è continua.
uhm ok... allora tengo valido quello che mi hai detto
grazie
grazie
Se ho capito bene proprio oggi hai un esame su queste cose, quindi penso che questa risposta arrivi in ritardo! Comunque:
La cosa essenziale è tenere presente la differenza tra calcolare limiti in due variabili, e calcolare limiti rispetto ad una sola variabile come hai fatto tu. In pratica, quando dici: "facendo tendere $y$ a zero tenendo fissa $x$" non stai calcolando il limite rispetto alla coppia $(x,y)$, ma semplicemente il limite lungo le rette ${(x,y)\ |\ x=\text{costante}}$. Occhio perché sono due cose diverse.
La cosa essenziale è tenere presente la differenza tra calcolare limiti in due variabili, e calcolare limiti rispetto ad una sola variabile come hai fatto tu. In pratica, quando dici: "facendo tendere $y$ a zero tenendo fissa $x$" non stai calcolando il limite rispetto alla coppia $(x,y)$, ma semplicemente il limite lungo le rette ${(x,y)\ |\ x=\text{costante}}$. Occhio perché sono due cose diverse.
"dissonance":
Se ho capito bene proprio oggi hai un esame su queste cose, quindi penso che questa risposta arrivi in ritardo! Comunque:
La cosa essenziale è tenere presente la differenza tra calcolare limiti in due variabili, e calcolare limiti rispetto ad una sola variabile come hai fatto tu. In pratica, quando dici: "facendo tendere $y$ a zero tenendo fissa $x$" non stai calcolando il limite rispetto alla coppia $(x,y)$, ma semplicemente il limite lungo le rette ${(x,y)\ |\ x=\text{costante}}$. Occhio perché sono due cose diverse.
l'esame è oggi pomeriggio.
Terrò in considerazione quello che mi hai detto
grazie
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