Continuità di una funzione con parametri
Salve a tutti.. Sto trovando difficoltà nello svolgere questo esercizio:
Verificare l'esistenza dei parametri h e k per i quali sia continua in x=0 la funzione:
${[e^((hx)^3)-1]/[arctan(sqrt(h)x^3)], if x >0$
${1, if x=0$
${[sen(k^2-k)(x^3)]/[tan(x^3+x^6)], if x<0$
Per essere continua, si deve calcolare il limite della funzione a $0^-$ (usando la f(x) per x<0) e a $0^+$ (usando la f(x) per x>0). Uguagliando i due limiti, avremo la relazione tra i due parametri. E' corretto il ragionamento fino a qui?
Calcolando i limiti, ci sarà una forma indeterminata $0/0$, che si dovrebbe risolvere con il th di De L'Hospital. Adesso però non riesco ad andare avanti, anche perchè facendo nuovamente il limite delle derivate, mi risulta ancora la forma indeterminata. Potreste gentilmente aiutarmi?
Grazie in anticipo per l'aiuto.
P.S. Nello scrivere la funzione, non sono riuscito a fare un'unica parentesi graffa...
Verificare l'esistenza dei parametri h e k per i quali sia continua in x=0 la funzione:
${[e^((hx)^3)-1]/[arctan(sqrt(h)x^3)], if x >0$
${1, if x=0$
${[sen(k^2-k)(x^3)]/[tan(x^3+x^6)], if x<0$
Per essere continua, si deve calcolare il limite della funzione a $0^-$ (usando la f(x) per x<0) e a $0^+$ (usando la f(x) per x>0). Uguagliando i due limiti, avremo la relazione tra i due parametri. E' corretto il ragionamento fino a qui?
Calcolando i limiti, ci sarà una forma indeterminata $0/0$, che si dovrebbe risolvere con il th di De L'Hospital. Adesso però non riesco ad andare avanti, anche perchè facendo nuovamente il limite delle derivate, mi risulta ancora la forma indeterminata. Potreste gentilmente aiutarmi?
Grazie in anticipo per l'aiuto.P.S. Nello scrivere la funzione, non sono riuscito a fare un'unica parentesi graffa...
Risposte
c'è qualcosa che non torna
$ lim_(x -> 0^+) f(x)=+infty $
$e^0=1;arctg0=0$
$ lim_(x -> 0^+) f(x)=+infty $
$e^0=1;arctg0=0$
"stormy":
c'è qualcosa che non torna
$ lim_(x -> 0^+) f(x)=+infty $
Si. Ho corretto... Mi era sfuggito un -1
cerca di applicare qualche limite notevole
"stormy":
cerca di applicare qualche limite notevole
Non saprei quale applicare...
nell'esercizio ,con qualche artificio, ti puoi ricondurre al calcolo dei seguenti limiti notevoli
$ lim_(z -> 0)(e^z-1)/z=1;lim_(z -> 0)(arctgz)/z=1;lim_(z-> 0)(senz)/z=1;lim_(z -> 0) (tgz)/z=1 $
$ lim_(z -> 0)(e^z-1)/z=1;lim_(z -> 0)(arctgz)/z=1;lim_(z-> 0)(senz)/z=1;lim_(z -> 0) (tgz)/z=1 $
Ok.. Dopo alcuni calcoli, compreso quello dei due limiti per $x->0$, mi risulta l'uguaglianza $hsqrt(h)=k^2-k$. Possibile? Ti esce forse lo stesso risultato?
per la precisione,$h^2sqrt(h)=k^2-k=1$ che ha come soluzioni accettabili $h=k=1$
Ok. Anche qui mi era saltato un numero, che in effetti mi risultava
Grazie veramente per l'aiuto che mi hai dato
Grazie veramente per l'aiuto che mi hai dato
Mentre stavo svolgendo quest'altro esercizio, mi è venuto un dubbio...
Verificare l'esistenza dei parametri h e k per i quali sia continua in x=0 la funzione:
$ {[arctan(sqrt(h)x^3)]/[e^((hx)^2)-1], if x<0 $
$ {1, if x=0 $
$ {[sen(k^2-k)(x^3)]/[arctan(x^3+x^7)], if x>0 $
Ho risolto i due limiti con alcuni limiti notevoli e alla fine mi esce questo risultato:
$lim_(x->0^-)f(x)=0$
$lim_(x->0^+)f(x)=k^2-k$
La soluzione è quindi che non esistono parametri per i quali la funzione è continua oppure lo è in $x=0$ per $k=1$ e $h=0$?
Verificare l'esistenza dei parametri h e k per i quali sia continua in x=0 la funzione:
$ {[arctan(sqrt(h)x^3)]/[e^((hx)^2)-1], if x<0 $
$ {1, if x=0 $
$ {[sen(k^2-k)(x^3)]/[arctan(x^3+x^7)], if x>0 $
Ho risolto i due limiti con alcuni limiti notevoli e alla fine mi esce questo risultato:
$lim_(x->0^-)f(x)=0$
$lim_(x->0^+)f(x)=k^2-k$
La soluzione è quindi che non esistono parametri per i quali la funzione è continua oppure lo è in $x=0$ per $k=1$ e $h=0$?
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