Continuità di una funzione

[speciale1]

f(x)={x^α (1-cosx) se 0 mi si chiede di studiare la continuità al variare del parametro alfa di questa funzione definita in (-pi/2, pi/2) e di precisare anche i punti di discontinuità.
mi spieghereste come procedere? che limiti dovrei fare?

[Sk_Anonymous]

Intanto riscrivo bene la funzione: \[\displaystyle f(x)= \begin{cases} x^{\alpha} (1 - \cos x) & \text{se} \quad 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ 1 & \text{se} \quad x=0 \\ \frac{1 - e^{-x}}{2 \sin x} & \text{se} \quad -\frac{\pi}{2} < x < 0 \end{cases} \]
è questa?

[speciale1]

si si è proprio questa

[gio73]

Ciao speciale, adesso dovresti dire quali sono le tue idee, almeno un inizio e poi si comincia a ragionare, ok?

[speciale1]

Allora: ad esempio in (0,pi/2) mi dovrei calcolare il limite per x che tende a zero da destra e vedere se coincide con f(0) e poi il limite per x che tende a pi/2 da sinistra e vedere se coincide con f(pi/2)?

[Palliit]

Ciao speciale (e ciao gio73), stai facendo un po' di casino. Intanto cosa vuol dire "in $(0, pi/2)$ dovrei calcolare..." ? La funzione in $x=0$ non vale $pi/2$ ma $1$. Poi: $f(x)$ non è definita in $pi/2$, puoi anche calcolare il limite per $x \rightarrow (pi/2)^-$ ma in ogni caso la funzione non potrà mai essere continua in un punto in cui non esiste.

Visto l'insieme di definizione di $f(x)$, cioè $( -pi/2, pi/2)$, l'unico punto in cui potrebbe non essere continua è ovviamente $x=0$ . Buona l'idea di calcolare il limite per $x \rightarrow 0^+$ e verificare che coincida con $f(0)$, ma non basta, fai un piccolo sforzo e ci arrivi. Ciao

[speciale1]

allora quindi faccio il limite per x che tende a zero da destra di x^α (1-cosx) e il limite per x che tende a zero da sinistra di (1-e^(-x))/(2sinx) e devo eguagliarli,giusto? ma se l'intervallo fosse stato chiuso, ovvero [-pi/2,pi/2] sarebbe cambiato qualcosa ,o comunque avrei dovuto studiare la continuità solo in zero?

[speciale1]

quindi c'è un salto di discontinuità pari a 1 ,vero?

[gio73]

Ciao speciale quanto viene il limite per $x->0^+$?
Per il limite per $x->0^-$ vediamo come lo influenza il parametro $alpha$, che ne dici?

[speciale1]

allora per x-->0+ viene 0, mentre per x--> 0- viene 1..ma possiamo dare qualunque valore al parametro alfa ,ma viene sempre 0 ,o no?

[gio73]

per $alpha>0$ sì, ma se provassimo a dare valori negativi al parametro?

[Palliit]

Ciao speciale.

A me pare che:__[tex]\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{1-e^{-x}}{2 \sin x}=\frac{1}{2}[/tex]__indipendentemente dal parametro $alpha$, per cui visto che $f(0)=1$ non ci
siano speranze di continuità. I valori del parametro $alpha$ a questo punto possono soltanto definire la specie della discontinuità: esiste un valore (come giustamente fa rilevare gio73) negativo di $alpha$ che per__$x \rightarrow 0^+$__fornisce un limite finito e diverso da zero, basta pensare a qualche limite notevole, per cui la discontinuità è ... ; per valori di $alpha$ maggiori di questo il limite per__$x \rightarrow 0^+$ __risulta zero, dunque la discontinuità è di I specie in quanto il salto è finito; per valori di $alpha$ minori del suddetto, invece, il limite per__$x \rightarrow 0^+$__vale__$+infty$__e la discontinuità è di II specie. Salvo errori (miei).

[gio73]

Ciao Pallit e buona domenica, a me pare che per $alpha=-2$ il limite valga 1/2, di conseguenza se $f(0)=1/2$ invece che 1, avremmo ottenuto una funzione continua, che ne dici? Magari era sbagliato il testo?

[Palliit]

Ciao gio73 e buona domenica anche a te!

Sono perfettamente d'accordo, i punti di sospensione in una frase del mio post precedente stanno per "eliminabile".
Opterei anch'io per un errore nel testo.