Continuità di una funzione
Salve,
ho un dubbio che vi sottopongo:
sia [tex]f[/tex] una funzione continua e bilineare e [tex]\alpha[/tex] una funzione tale che:
[tex]|\alpha(x)-\alpha(z)|\leq \sup_{v\in Y}|f(x,v)-f(z,v)|.[/tex]
Perché da tale scrittura posso dedurre che [tex]\alpha[/tex] è continua?
Vi dico sin d'ora che questa relazione è stata estrapolata da una dimostrazione di un teorema. Tuttavia non credo che questo particolare intervenga in questo caso specifico.
Attendendo una vostra risposta, vi ringrazio anticipatamente.
ho un dubbio che vi sottopongo:
sia [tex]f[/tex] una funzione continua e bilineare e [tex]\alpha[/tex] una funzione tale che:
[tex]|\alpha(x)-\alpha(z)|\leq \sup_{v\in Y}|f(x,v)-f(z,v)|.[/tex]
Perché da tale scrittura posso dedurre che [tex]\alpha[/tex] è continua?
Vi dico sin d'ora che questa relazione è stata estrapolata da una dimostrazione di un teorema. Tuttavia non credo che questo particolare intervenga in questo caso specifico.
Attendendo una vostra risposta, vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Nessuna idea?
$f$ è continua per ipotesi. Se fai tendere $x\to z$ la quantità $|f(x,v)-f(z,v)|$ va a zero per definizione di continuità.
Paola
Paola
Ah! Giusto! Quindi per il teorema del Confronto si ha banalmente che [tex]\lim_{x\rightarrow z}\;|\alpha(x)-\alpha(z)|=0[/tex] e cioè [tex]\lim_{x\rightarrow z}\;\alpha(x)=\alpha(z)[/tex].
Grazie!
Grazie!
Non è così banale secondo me. Intanto il risultato, così com'è, è falso: basta prendere la forma bilineare \(f\colon \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, f(x, v)=x_1v_1+x_2v_2\) per avere che
\[\sup_{v \in \mathbb{R}^2}\lvert f(x-z, v)\rvert=+\infty\]
per qualsiasi \(x\ne z \in \mathbb{R}^2\). E risultati analoghi valgono per qualsiasi forma bilineare non nulla. Per questo assumo nel seguito che \(Y\) sia la sfera unitaria dello spazio normato in cui il problema è ambientato.
Con questa rettifica, io penso che una proprietà del genere sussista a patto che, oltre alla continuità di \(f\) nella prima variabile, ci sia anche una uniformità rispetto alla seconda variabile, in modo che quel passaggio al sup non crei problemi. Qui abbiamo una ipotesi molto forte su \(f\) che ci basta abbondantemente, perché essendo bilineare e continua \(f\) è limitata nel senso che esiste una costante \(M>0\) tale che
\[\lvert f(\xi, \eta)\rvert \le M \lvert \xi\rvert \lvert \eta\rvert, \qquad \forall \xi, \eta.\]
Quindi
\[\sup_{v \in Y}\lvert f(x, v)-f(z, v)\lvert \le M \lvert x-z\rvert\]
e in conclusione \(\alpha\) è una funzione Lipschitziana.
\[\sup_{v \in \mathbb{R}^2}\lvert f(x-z, v)\rvert=+\infty\]
per qualsiasi \(x\ne z \in \mathbb{R}^2\). E risultati analoghi valgono per qualsiasi forma bilineare non nulla. Per questo assumo nel seguito che \(Y\) sia la sfera unitaria dello spazio normato in cui il problema è ambientato.
Con questa rettifica, io penso che una proprietà del genere sussista a patto che, oltre alla continuità di \(f\) nella prima variabile, ci sia anche una uniformità rispetto alla seconda variabile, in modo che quel passaggio al sup non crei problemi. Qui abbiamo una ipotesi molto forte su \(f\) che ci basta abbondantemente, perché essendo bilineare e continua \(f\) è limitata nel senso che esiste una costante \(M>0\) tale che
\[\lvert f(\xi, \eta)\rvert \le M \lvert \xi\rvert \lvert \eta\rvert, \qquad \forall \xi, \eta.\]
Quindi
\[\sup_{v \in Y}\lvert f(x, v)-f(z, v)\lvert \le M \lvert x-z\rvert\]
e in conclusione \(\alpha\) è una funzione Lipschitziana.
"dissonance":
Qui abbiamo una ipotesi molto forte su \(f\) che ci basta abbondantemente, perché essendo bilineare e continua \(f\) è limitata nel senso che esiste una costante \(M>0\) tale che
\[\lvert f(\xi, \eta)\rvert \le M \lvert \xi\rvert \lvert \eta\rvert, \qquad \forall \xi, \eta.\]
Quindi
\[\sup_{v \in Y}\lvert f(x, v)-f(z, v)\lvert \le M \lvert x-z\rvert\]
e in conclusione \(\alpha\) è una funzione Lipschitziana.
Potresti chiarirmi l'ultima maggiorazione alla luce della limitatezza della [tex]f[/tex]?
Tale limitatezza discende dal fatto che è bilineare e continua?
Uuh, m'ero scordato di rispondere a questa domanda, scusami. Si si è una caratterizzazione degli operatori bilineari continui. Hai mai visto questo teorema?
Teorema Sia \(L \colon E \to F\) un operatore lineare tra spazi normati. Sono equivalenti:
[list=1][*:1bjtr1mn]\(L\) è continuo.[/*:m:1bjtr1mn]
[*:1bjtr1mn]Esiste una costante \(M\ge 0 \) tale che \(\lVert Lx\rVert_F\le M \lVert x \rVert_E\) per ogni \(x \in E\). ([size=80]si dice che \(L\) è limitato, anche se questo non significa certo che sia una funzione limitata. Ma è un abuso di notazione innocuo.[/size])[/*:m:1bjtr1mn][/list:o:1bjtr1mn]
Questo è un fatto classico che puoi trovare su qualsiasi testo introduttivo di analisi funzionale. E modificando la dimostrazione un poco ottieni la versione bilineare (e se vuoi pure trilineare, quadrilineare, ecc...):
Teorema Siano \(E_1, E_2, F\) spazi normati e \(B\colon E_1\times E_2 \to F\) un operatore bilineare. Sono equivalenti:
[list=1]
[*:1bjtr1mn]\(B\) è continuo.[/*:m:1bjtr1mn]
[*:1bjtr1mn]Esiste una costante \(M\ge 0\) tale che \(\lVert B(x_1, x_2)\rVert_F\le M \lVert x_1\rVert_{E_1}\lVert x_2\rVert_{E_2}\) per ogni \(x_1\in E_1, x_2\in E_2\).[/*:m:1bjtr1mn][/list:o:1bjtr1mn]
Teorema Sia \(L \colon E \to F\) un operatore lineare tra spazi normati. Sono equivalenti:
[list=1][*:1bjtr1mn]\(L\) è continuo.[/*:m:1bjtr1mn]
[*:1bjtr1mn]Esiste una costante \(M\ge 0 \) tale che \(\lVert Lx\rVert_F\le M \lVert x \rVert_E\) per ogni \(x \in E\). ([size=80]si dice che \(L\) è limitato, anche se questo non significa certo che sia una funzione limitata. Ma è un abuso di notazione innocuo.[/size])[/*:m:1bjtr1mn][/list:o:1bjtr1mn]
Questo è un fatto classico che puoi trovare su qualsiasi testo introduttivo di analisi funzionale. E modificando la dimostrazione un poco ottieni la versione bilineare (e se vuoi pure trilineare, quadrilineare, ecc...):
Teorema Siano \(E_1, E_2, F\) spazi normati e \(B\colon E_1\times E_2 \to F\) un operatore bilineare. Sono equivalenti:
[list=1]
[*:1bjtr1mn]\(B\) è continuo.[/*:m:1bjtr1mn]
[*:1bjtr1mn]Esiste una costante \(M\ge 0\) tale che \(\lVert B(x_1, x_2)\rVert_F\le M \lVert x_1\rVert_{E_1}\lVert x_2\rVert_{E_2}\) per ogni \(x_1\in E_1, x_2\in E_2\).[/*:m:1bjtr1mn][/list:o:1bjtr1mn]
No, purtroppo non ho mai studiato Analisi Funzionale!
E' sufficiente sapere che è una proprietà caratteristica degli operatori bilineari.
Tuttavia non ho ancora afferrato la relazione [tex]\sup_{v\in Y}|f(x,v)-f(z,v)|\leq M|x-z|[/tex].
Mi/Ti chiedo: tratto il [tex]\sup[/tex] come una norma? Il fatto che al primo membro vi sia una differenza, modifica qualcosa?
E' sufficiente sapere che è una proprietà caratteristica degli operatori bilineari.
Tuttavia non ho ancora afferrato la relazione [tex]\sup_{v\in Y}|f(x,v)-f(z,v)|\leq M|x-z|[/tex].
Mi/Ti chiedo: tratto il [tex]\sup[/tex] come una norma? Il fatto che al primo membro vi sia una differenza, modifica qualcosa?
Ho cercato un po' di info su qualche testo. Se non ho capito male la continuità implica la lipschitzianità di un operatore lineare e viceversa. In particolare, nel nostro caso riesce: \[\sup_{v\in Y}|f(x,v)-f(z,v)|\leq M|(x,v)-(z,v)|=M|(x-z,0)|=M|x-z|.\]
Giusto?
P.S.: sono andato al cuore del problema omettendo tutte le ipotesi e le precisazioni necessarie. In ogni caso ne terrò conto nel momento in cui riorganizzo la dimostrazione!
Giusto?
P.S.: sono andato al cuore del problema omettendo tutte le ipotesi e le precisazioni necessarie. In ogni caso ne terrò conto nel momento in cui riorganizzo la dimostrazione!
Intanto c'è ancora da capire che cosa sia quella \(Y\), eh. Io l'ho interpretata come la sfera unitaria di uno spazio normato (ovvero l'insieme delle \(v\) tali che \(\lvert v \rvert=1\)), ma non lo so che cosa sia, dovresti dirlo tu.
Se la mia supposizione è giusta allora per ogni \(x, z\) e per ogni \(v\in Y\) abbiamo
\[\lvert f(x, v)-f(z, v)\rvert=\lvert f(x-z, v)\rvert \le M \lvert x-z\rvert \lvert v \rvert =M\lvert x-z\rvert\]
e quindi passando al sup
\[\sup_{v \in Y} \lvert f(x, v)-f(z, v)\rvert\le M\lvert x-z\rvert.\]
Se la mia supposizione è giusta allora per ogni \(x, z\) e per ogni \(v\in Y\) abbiamo
\[\lvert f(x, v)-f(z, v)\rvert=\lvert f(x-z, v)\rvert \le M \lvert x-z\rvert \lvert v \rvert =M\lvert x-z\rvert\]
e quindi passando al sup
\[\sup_{v \in Y} \lvert f(x, v)-f(z, v)\rvert\le M\lvert x-z\rvert.\]
Grazie dei chiarimenti dissonance!
Paola
Paola
"dissonance":
Intanto c'è ancora da capire che cosa sia quella \(Y\), eh. Io l'ho interpretata come la sfera unitaria di uno spazio normato (ovvero l'insieme delle \(v\) tali che \(\lvert v \rvert=1\)), ma non lo so che cosa sia, dovresti dirlo tu.
Se la mia supposizione è giusta allora per ogni \(x, z\) e per ogni \(v\in Y\) abbiamo
\[\lvert f(x, v)-f(z, v)\rvert=\lvert f(x-z, v)\rvert \le M \lvert x-z\rvert \lvert v \rvert =M\lvert x-z\rvert\]
e quindi passando al sup
\[\sup_{v \in Y} \lvert f(x, v)-f(z, v)\rvert\le M\lvert x-z\rvert.\]
Per ipotesi \(Y\subseteq \mathbb{R}^m\) ed è non vuoto, compatto e convesso. Quindi come si può sistemare la scrittura \(M \lvert x-z\rvert \lvert v \rvert =M\lvert x-z\rvert\)?
Aaahhnnn... 
E non lo potevi dire prima?
Dai, comunque è facile. Ti basta sapere che \(Y\) è limitato, diciamo che sia contenuto nella sfera (piena) [size=80](*)[/size]di raggio \(R\), così che
\[M\lvert x-z\rvert \lvert v\rvert \le MR\lvert x-z\rvert.\]
_____________
(*) Intendo \(\{v\in \mathbb{R}^m\mid \lvert v \rvert \le R\}\). Più spesso queste si chiamano "palle" ma cerco di evitarne l'uso in italiano che mi pare proprio brutto! C'è pure la storiella della professoressa di geometria che a lezione dice: "sto pensando alle palle" e tutti gli studenti che si scompisciano di risate.
E non lo potevi dire prima?
Dai, comunque è facile. Ti basta sapere che \(Y\) è limitato, diciamo che sia contenuto nella sfera (piena) [size=80](*)[/size]di raggio \(R\), così che
\[M\lvert x-z\rvert \lvert v\rvert \le MR\lvert x-z\rvert.\]
_____________
(*) Intendo \(\{v\in \mathbb{R}^m\mid \lvert v \rvert \le R\}\). Più spesso queste si chiamano "palle" ma cerco di evitarne l'uso in italiano che mi pare proprio brutto!
C'è pure la storiella della professoressa di geometria che a lezione dice: "sto pensando alle palle" e tutti gli studenti che si scompisciano di risate.
Benissimo! Ora è tutto chiaro!
Ti ringrazio per la disponibilità. Purtroppo erano osservazioni che battevano su terreni da me ancora inesplorati!
E comunque sì, il sostantivo "palle" non è proprio il massimo dell'eleganza, anche se i testi inglesi/americani di topologia abbondano con le "balls"! A noi piacciono le "sfere"
Ti ringrazio per la disponibilità. Purtroppo erano osservazioni che battevano su terreni da me ancora inesplorati!
E comunque sì, il sostantivo "palle" non è proprio il massimo dell'eleganza, anche se i testi inglesi/americani di topologia abbondano con le "balls"! A noi piacciono le "sfere"
Comunque, visto che \(Y\) è compatto, probabilmente si poteva fare a meno di questo casino. Infatti la funzione \(f\) è uniformemente continua su \(Y\), per cui penso che il ragionamento di Paola possa essere portato a conclusione: se ti va prova a farlo come esercizio.
Io sono insorto perché in mancanza di altre informazioni avevo assunto che parlassi di spazi normati non necessariamente di dimensione finita, e sono ambienti in cui la continuità uniforme è una risorsa che scarseggia assai.
Io sono insorto perché in mancanza di altre informazioni avevo assunto che parlassi di spazi normati non necessariamente di dimensione finita, e sono ambienti in cui la continuità uniforme è una risorsa che scarseggia assai.
Ok. In ogni caso il tuo ragionamento mi è chiaro.
Grazie ancora!
Grazie ancora!
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