Continuità di una funzione
Salve a tutti,
studiando le Varietà Differenziabili mi è sorto un dubbio sulla continuità di applicazione tra spazi topologici.
Un applicazione tra spazi metrici (più in generali tra spazi topologici su cui si definita una certa misura), si dice continua se la controimmagine di ogni aperto è ancora un aperto.
Questo mi fa pensare che ogni funzione continua sia anche invertibile ma non vale il viceversa. O sbaglio?
Grazie in anticipo a quanti chiariranno questo dubbio. Buona giornata.
studiando le Varietà Differenziabili mi è sorto un dubbio sulla continuità di applicazione tra spazi topologici.
Un applicazione tra spazi metrici (più in generali tra spazi topologici su cui si definita una certa misura), si dice continua se la controimmagine di ogni aperto è ancora un aperto.
Questo mi fa pensare che ogni funzione continua sia anche invertibile ma non vale il viceversa. O sbaglio?
Grazie in anticipo a quanti chiariranno questo dubbio. Buona giornata.
Risposte
Sbagli, sbagli. Prendi una funzione costante: è sempre continua ma mai invertibile (se non in un caso assolutamente banale).
più in generali tra spazi topologici su cui si definita una certa misuraLascia stare la misura, non c'entra nulla qui. Questa che riporti è la definizione di continuità valida in tutti gli spazi topologici.
Sono d'accordo con te riguardo al fatto che ci sono funzioni continue che non sono invertibili ed proprio questo il dubbio che sollevo.
Mi spiego meglio. La definizione che si trova sui vari testi è:
Dati due spazi Topologici $ X $ e $ Y $ , un applicazione $ f:X rarr Y $ è continua se per ogni aperto $ A in Y $ si ha che $ f^-1(A) $ è aperto in $ X $ .
Ora se l'applicazione non è invertibile come posso considerare $ f^-1(A) $ ?
Mi spiego meglio. La definizione che si trova sui vari testi è:
Dati due spazi Topologici $ X $ e $ Y $ , un applicazione $ f:X rarr Y $ è continua se per ogni aperto $ A in Y $ si ha che $ f^-1(A) $ è aperto in $ X $ .
Ora se l'applicazione non è invertibile come posso considerare $ f^-1(A) $ ?
E' un classico abuso di notazione. Per qualsiasi funzione, \(f^{-1}\) indica la controimmagine:
\[f^{-1}(A)=\{x\in X \mid f(x)\in A\}.\]
Se poi \(f\) è invertibile con lo stesso simbolo si denota la funzione inversa. Dal contesto si capisce quale delle due definizioni adottare.
\[f^{-1}(A)=\{x\in X \mid f(x)\in A\}.\]
Se poi \(f\) è invertibile con lo stesso simbolo si denota la funzione inversa. Dal contesto si capisce quale delle due definizioni adottare.
Ok ok. Adesso è chiaro. Grazie mille
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