Continuita' di una funzione

[Hunho]

per determinare la continuita' di una funzione

$f(x)={(1+logx)/(logx-(1/2))$ se x diverso da 0
$f(x)={1$ se x=0

(chiedo scusa se ho scritto male la funzione, sono un newbie e non ho scoperto ancora come fare per mettere tutto insieme)

devo calcolare il limite della funzione tendente a $0+$ (continuita' dx) e $0^-$ (continuita' a sx)?

ovvero

$lim_(x->0^-)(1+logx)/(logx-1/2)$

e

$lim_(x->0^+)(1+logx)/(logx-1/2)$

?

[Seneca1]

Se hai scritto bene la funzione, scoprirai che non ha senso andare a calcolare il limite per $x -> 0^-$.

Giusto?

[Hunho]

giusto, perche' l'argomento del logaritmo dev'essere sempre positivo

[Seneca1]

Quindi devi scoprire se nel punto $0$ la funzione è continua dalla destra.

Una condizione necessaria e sufficiente affinché $f$ sia continua in $0$ (punto di accumulazione per il dominio di $f$) è che

$\lim_(x->0^+) f(x) = f(0)$

[Hunho]

quindi il limite della funzione per x tendente a 0 deve restituirmi il valore di f(0), giusto?

in quel caso ho continuita' per quel lato

e se non avessi quel risultato avrei discontinuita'?

[Seneca1]

"Hunho":
e se non avessi quel risultato avrei discontinuita'?

Sì.. Che poi dovresti classificare in base al risultato del limite.

[Hunho]

correggimi se sbaglio, per favore;

-se ottengo dei limiti finiti ed uguali, significa che sono dei punti di discontinuita' eliminabile
-se ottengo dei limiti finiti e diversi, e' discontinuita' di prima specie
-se uno dei 2 limiti non esiste, oppure uno dei 2 vale $+infty$ ho discontinuita' di seconda specie

[Seneca1]

"Hunho":correggimi se sbaglio, per favore;

-se ottengo dei limiti finiti ed uguali, significa che sono dei punti di discontinuita' eliminabile
-se ottengo dei limiti finiti e diversi, e' discontinuita' di prima specie
-se uno dei 2 limiti non esiste, oppure uno dei 2 vale $+infty$ ho discontinuita' di seconda specie

Argh! Quali due limiti? In questo caso ne hai solo uno.

Ti si possono presentare due casi:

1) Se il limite è finito, diverso da $1$, allora la discontinuità è eliminabile.
2) Se è infinito o non esiste, la disc è di seconda specie.

Credo che sia così. Qualcuno mi corregga se sbaglio.

[Hunho]

no no dicevo in generale adesso, non mi riferivo alla funzione scritta da me come esempio, scusami

[Seneca1]

-se ottengo dei limiti finiti ed uguali, significa che sono dei punti di discontinuita' eliminabile

Attento. Devi precisare che:

a) o il valore dei limiti non è uguale al valore della funzione nel punto
b) o la funzione in questione non è ivi definita.

Altrimenti la funzione $f(x) = x$, tanto per farti un esempio, avrebbe discontinuità eliminabili in ogni punto del dominio.

[Hunho]

ok, terro' bene a mente. Grazie Seneca!