Continuità Di Una Funzione

[davicos]

Salve a tutti,

circa la continuità di una funzione:

1)$ AA epsilon >0 EE delta>0:AAx in domf, |x-x_0|
2)$ lim_(x -> x_0) f(x)=f(x_0) $

Ma mi è venuto in mente che per esempio in una successione ogni punto è isolato, quindi continuo senza bisogno che esista un intorno, quindi viene meno la prima condizione ma la seconda è verificata.

Altro esempio, la funzione $ 1/(x-3) $ non è continua in $ x=3 $ ma esiste l'intorno, quindi viene meno la seconda condizione e la prima è verificata.

Sto tralasciando qualcosa oppure come ragionamento va bene?

Grazie.

[IlPolloDiGödel]

"davicos":Ma mi è venuto in mente che per esempio in una successione ogni punto è isolato, quindi continuo senza bisogno che esista un intorno, quindi viene meno la prima condizione ma la seconda è verificata.

No no no no no no no. Perdonami la franchezza ma hai scritto un sacco di boiate.
Anzitutto, la prima condizione è la definizione di continuità di una funzione $f:D sub RR to RR$ in un punto $x_0$, peraltro con un refuso che potrebbe essere una distrazione ma anche un indizio di una copiatura sbagliata da un appunto preso in classe... vabbè, non è affar mio. La seconda condizione è conseguenza della prima: se una funzione è continua in un punto allora è vero che il suo limite vale quanto la funzione in quel punto.

Comunque, un punto non è continuo, è una funzione che può essere continua in un determinato punto. Inoltre "continuo senza bisogno che esista un intorno" è un altro obbrobrio, dato che la continuità di una funzione in un punto è per definizione una proprietà che la funzione soddisfa in ogni intorno del suddetto punto.

"davicos":Altro esempio, la funzione 1/(x−3) non è continua in x=3 ma esiste l'intorno, quindi viene meno la seconda condizione e la prima è verificata.

Perchè questa funzione non è continua in x=3? Perchè in ogni intorno di 3, vale a dire in ogni intervallino reale che contenga 3, è possibile trovare un punto molto vicino come coordinata x a 3 ma molto lontano come ordinata ad f(3). Quindi non è vero che sia verificata la prima condizione. Esiste l'intorno (di che poi?), ne esistono infiniti in effetti, ma non vale il resto della condizione...

Insomma, se hai bisogno che ti spieghiamo un po' la continuità di una funzione, ben venga, ma senza studiare per conto tuo prima di postare non vai da nessuna parte. Lo so per esperienza.

[davicos]

Circa la prima definizione l'ho presa da un libro ed avevo solo dimenticato una x. Circa la continuità del punto lo ha detto il mio prof dicendo che un punto è sempre continuo. Certe cose che dice lui non mi ci ritrovo quando le guardo sui libri o s internet. E' un pò confusionale la cosa. Ultima cosa, non c'è bisogno di dire "hai scritto un sacco di boiate", bastava anche un "hai sbagliato", ma non mi sono offeso, sto imparando e nessuno è nato imparato. Ciò detto, se non ti scoccia, illuminami circa l'argomento quando hai tempo, grazie.

[Studente Anonimo]

In generale, se $x_0$ è un punto isolato del dominio, la funzione si dice continua in $x_0$ per definizione. Viceversa, se $x_0$ è un punto di accumulazione del dominio, la funzione si dice continua in $x_0$ se e solo se $lim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$.

[davicos]

Si ho sbagliato a scrivere ma intendevo dire che per esempio una successione è continua in ogni punto isolato del dominio, non che il punto è continuo..

[Studente Anonimo]

Tipicamente, non si introduce il concetto di continuità per una successione.