Continuità di un operatore
Sia T l'operatore definito da $Tf(x)=\int_(x-1)^xf(t)dt$.
Discutere la continuità di T da $C([-1,1])$ a $C^1([0,1])$, dotati delle seguenti norme:
se $f\inC([-1,1])$ allora $||f||:="sup"_"[-1,1]"|f|$
se $g\inC^1([0,1])$ allora $||g||:="sup"_"[0,1]"|g|+"sup"_"[0,1]"|g'|$.
La mia idea era di provare a mostrare che T è lipschitziano...
$||Tf(x)-Tg(x)||=||\int_(x-1)^xf(t)dt-\int_(x-1)^xg(t)dt||=||\int_(x-1)^xf(t)-g(t)dt||=$
$="sup"_"[0,1]"|\int_(x-1)^xf(t)-g(t)dt|+"sup"_"[0,1]"|d/(dx)(\int_(x-1)^xf(t)-g(t)dt)|$
ora non so come continuare perchè non ho idea di come maggiorare quel secondo addendo in cui compare la derivata...mi date un'indicazione?
Discutere la continuità di T da $C([-1,1])$ a $C^1([0,1])$, dotati delle seguenti norme:
se $f\inC([-1,1])$ allora $||f||:="sup"_"[-1,1]"|f|$
se $g\inC^1([0,1])$ allora $||g||:="sup"_"[0,1]"|g|+"sup"_"[0,1]"|g'|$.
La mia idea era di provare a mostrare che T è lipschitziano...
$||Tf(x)-Tg(x)||=||\int_(x-1)^xf(t)dt-\int_(x-1)^xg(t)dt||=||\int_(x-1)^xf(t)-g(t)dt||=$
$="sup"_"[0,1]"|\int_(x-1)^xf(t)-g(t)dt|+"sup"_"[0,1]"|d/(dx)(\int_(x-1)^xf(t)-g(t)dt)|$
ora non so come continuare perchè non ho idea di come maggiorare quel secondo addendo in cui compare la derivata...mi date un'indicazione?
Risposte
Innanzitutto, dovresti dimostrare che l'assegnazione:
\[
Tf(x) := \int_{x-1}^x f(t)\ \text{d} t
\]
definisce effettivamente un'applicazione di \(C([-1,1])\) in \(C^1([0,1])\).
Fatto ciò, dato che \(T\) è evidentemente lineare, per vedere se esso è continuo o meno basta dimostrare che per ogni \(f\in C([-1,1])\) vale una stima del tipo:
\[
\| Tf\|_{C^1([0,1])} \leq C\ \| f\|_{C([-1,1])}
\]
ove \(C\geq 0\) è un'opportuna costante "universale" (cioé indipendente da \(f\)).
E qui si capisce perché le cose vanno fatte con ordine... Infatti, per dimostrare la stima devi calcolare esplicitamente \((Tf)^\prime(x)\), ma questo calcolo l'hai già fatto per dimostrare che \(T\) mappa \(C\) in \(C^1\) e quindi non hai problemi.
\[
Tf(x) := \int_{x-1}^x f(t)\ \text{d} t
\]
definisce effettivamente un'applicazione di \(C([-1,1])\) in \(C^1([0,1])\).
Fatto ciò, dato che \(T\) è evidentemente lineare, per vedere se esso è continuo o meno basta dimostrare che per ogni \(f\in C([-1,1])\) vale una stima del tipo:
\[
\| Tf\|_{C^1([0,1])} \leq C\ \| f\|_{C([-1,1])}
\]
ove \(C\geq 0\) è un'opportuna costante "universale" (cioé indipendente da \(f\)).
E qui si capisce perché le cose vanno fatte con ordine... Infatti, per dimostrare la stima devi calcolare esplicitamente \((Tf)^\prime(x)\), ma questo calcolo l'hai già fatto per dimostrare che \(T\) mappa \(C\) in \(C^1\) e quindi non hai problemi.
Per il teorema fondamentale del calcolo ho che $T'f(x)=f(x)-f(x-1)\inC([0,1])$. Questo dovrebbe provare che $Tf(x)\inC^1([0,1])$...
Esatto.
E, d'altra parte, hai:
\[
\begin{split}
\|Tf\|_{C^1([0,1])} &:= \|Tf\|_{C([0,1])} + \| (Tf)^\prime\|_{C([0,1])}\\
&= \max_{x\in [0,1]} \left| \int_{x-1}^x f(t)\ \text{d} t\right| + \max_{x\in [0,1]} \left| f(x) - f(x-1)\right|
\end{split}
\]
ed entrambe le quantità all'ultimo membro si controllano dall'alto usando \(\| f\|_{C([-1,1])} = \max_{x\in [-1,1]} |f(x)|\) (come?); quindi...
E, d'altra parte, hai:
\[
\begin{split}
\|Tf\|_{C^1([0,1])} &:= \|Tf\|_{C([0,1])} + \| (Tf)^\prime\|_{C([0,1])}\\
&= \max_{x\in [0,1]} \left| \int_{x-1}^x f(t)\ \text{d} t\right| + \max_{x\in [0,1]} \left| f(x) - f(x-1)\right|
\end{split}
\]
ed entrambe le quantità all'ultimo membro si controllano dall'alto usando \(\| f\|_{C([-1,1])} = \max_{x\in [-1,1]} |f(x)|\) (come?); quindi...
Riguardo la prima quantita' si ha $|\int_(x-1)^xf(t)dt|<=\int_(x-1)^x|f(t)|dt<=\int_(x-1)^x||f||_(C([0,1]))dt=||f||_(C([0,1]))$ mentre riguardo la seconda si ha $"max"_(x\in[0,1])|f(x)-f(x-1)|<="max"_(x\in[0,1])(|f(x)|+|f(x-1)|)<=||f||_(C([0,1]))+"max"_(x\in[0,1])|f(x-1)|$ ma qui mi manca qualcosa per concludere...
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