Continuità di un campo scalare
Sono alle prese con un esercizio che non riesco a risolvere...
Dato il campo scalare $f(x,y)=x^2 - 3*x*y^2 + 2*y^3$ verificare che è continuo in $(0,0)$.
Per verificare che è continuo dobbiamo dimostrare che $\lim_{(x,y) \to \(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0$
ovvero che per qualsiasi $epsilon>0$ esiste $delta>0$ tale che $|f(x,y) - f(0,0)|
$|(x,y)-(0,0)|=sqrt(x^2+y^2)$
$|f(x,y) - f(0,0)|=|x^2 - 3*x*y^2 + 2*y^3|=|x^2 - 3*x*y^2 + 2*y^2*y|<=|(x^2+y^2) - 3*x*(y^2 + x^2) + 2*y*(x^2+y^2)|
da qui non so andare avanti.... dovrei trovare una maggiorazione in funzione di $sqrt(x^2+y^2)$ in modo da poter esprimere $delta$ in funzione di $epsilon$ ma non mi riesce....
Qualcuno sa dirmi come proseguire o sa darmi una soluzione migliore?
Grazie
Dato il campo scalare $f(x,y)=x^2 - 3*x*y^2 + 2*y^3$ verificare che è continuo in $(0,0)$.
Per verificare che è continuo dobbiamo dimostrare che $\lim_{(x,y) \to \(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0$
ovvero che per qualsiasi $epsilon>0$ esiste $delta>0$ tale che $|f(x,y) - f(0,0)|
$|(x,y)-(0,0)|=sqrt(x^2+y^2)$
$|f(x,y) - f(0,0)|=|x^2 - 3*x*y^2 + 2*y^3|=|x^2 - 3*x*y^2 + 2*y^2*y|<=|(x^2+y^2) - 3*x*(y^2 + x^2) + 2*y*(x^2+y^2)|
da qui non so andare avanti.... dovrei trovare una maggiorazione in funzione di $sqrt(x^2+y^2)$ in modo da poter esprimere $delta$ in funzione di $epsilon$ ma non mi riesce....
Qualcuno sa dirmi come proseguire o sa darmi una soluzione migliore?
Grazie
Risposte
Prendi $\epsilon > 0$.
Devi trovare $\delta>0$ tale che...
Naturalmente, ti basta trovare $\delta\in (0,1]$ tale che...
A questo punto, poiché $|x| \le \sqrt{x^2+y^2}$ e $|y| \le \sqrt{x^2+y^2}$ hai che
$|f(x,y) - f(0,0)| \le |x^2| + 3 |xy^2| + 2 |y^3| \le (x^2+y^2) + 3 (x^2+y^2)^{3/2} + 2 (x^2+y^2)^{3/2}$.
D'altra parte, se $\delta\le 1$, i punti che soddisfano $|(x,y) - (0,0)| < \delta$ sono tali che $\sqrt{x^2+y^2}\le 1$,
quindi per tali punti hai anche che
$|f(x,y) - f(0,0)| \le \sqrt{x^2+y^2} + 3 \sqrt{x^2+y^2} + 2 \sqrt{x^2+y^2} = 6\sqrt{x^2+y^2}.$
Da qui segue la continuità nell'origine della funzione (scegliendo $\delta = "min"\{1, \epsilon/6\}$).
Detto questo, mi sembra più semplice dimostrare prima che somma e prodotto di funzioni continue sono continui; a questo punto, una volta che dimostri che le funzioni $x$ e $y$ sono continue, segue la continuità di qualsiasi polinomio.
Devi trovare $\delta>0$ tale che...
Naturalmente, ti basta trovare $\delta\in (0,1]$ tale che...
A questo punto, poiché $|x| \le \sqrt{x^2+y^2}$ e $|y| \le \sqrt{x^2+y^2}$ hai che
$|f(x,y) - f(0,0)| \le |x^2| + 3 |xy^2| + 2 |y^3| \le (x^2+y^2) + 3 (x^2+y^2)^{3/2} + 2 (x^2+y^2)^{3/2}$.
D'altra parte, se $\delta\le 1$, i punti che soddisfano $|(x,y) - (0,0)| < \delta$ sono tali che $\sqrt{x^2+y^2}\le 1$,
quindi per tali punti hai anche che
$|f(x,y) - f(0,0)| \le \sqrt{x^2+y^2} + 3 \sqrt{x^2+y^2} + 2 \sqrt{x^2+y^2} = 6\sqrt{x^2+y^2}.$
Da qui segue la continuità nell'origine della funzione (scegliendo $\delta = "min"\{1, \epsilon/6\}$).
Detto questo, mi sembra più semplice dimostrare prima che somma e prodotto di funzioni continue sono continui; a questo punto, una volta che dimostri che le funzioni $x$ e $y$ sono continue, segue la continuità di qualsiasi polinomio.
Ciao, grazie della risposta.
Purtroppo non mi è troppo chiaro il passaggio da qui
a qui...
Puoi farmi capire meglio per favore? Grazie mille
Purtroppo non mi è troppo chiaro il passaggio da qui
"Rigel":
$|f(x,y) - f(0,0)| \le |x^2| + 3 |xy^2| + 2 |y^3| \le (x^2+y^2) + 3 (x^2+y^2)^{3/2} + 2 (x^2+y^2)^{3/2}$.
a qui...
"Rigel":
$|f(x,y) - f(0,0)| \le \sqrt{x^2+y^2} + 3 \sqrt{x^2+y^2} + 2 \sqrt{x^2+y^2} = 6\sqrt{x^2+y^2}.$
Puoi farmi capire meglio per favore? Grazie mille
... credo di aver capito: il fatto che $sqrt(x^2+y^2)<=1$ implica che $(x^2+y^2)=(sqrt(x^2+y^2))^2<=sqrt(x^2+y^2)$, idem per $(x^2+y^2)^(3/2)$, quindi posso maggiorare entrambe queste quantità con $sqrt(x^2+y^2)$.
E' corretto ?
Grazie
E' corretto ?
Grazie
Consideriamo, ad esempio, il termine $3|xy^2|$.
Poiché $|x| \le \sqrt{x^2+y^2}$ e $|y| \le \sqrt{x^2+y^2}$ hai che
$3|xy^2| = 3 |x| |y|^2 \le 3 \sqrt{x^2+y^2} (\sqrt{x^2+y^2})^2 = 3(x^2+y^2)^{3/2}$.
Analogamente per gli altri.
Per quanto riguarda il secondo passaggio:
se adesso supponi $\delta\le 1$, avrai che i punti t.c. $|(x,y)-(0,0)|<\delta$ soddisfano
$\sqrt{x^2+y^2} < \delta\le 1$.
Sempre considerando, a titolo d'esempio, il secondo termine:
$3|xy^2| = 3 |x| |y|^2 \le 3 \sqrt{x^2+y^2} (\sqrt{x^2+y^2})^2 \le 3 \sqrt{x^2+y^2} \cdot 1^2 = 3 \sqrt{x^2+y^2}.$
Praticamente, un termine $\sqrt{x^2+y^2}$ lo tieni, gli altri li maggiori con $1$.
In maniera analoga tratti gli altri pezzi.
Poiché $|x| \le \sqrt{x^2+y^2}$ e $|y| \le \sqrt{x^2+y^2}$ hai che
$3|xy^2| = 3 |x| |y|^2 \le 3 \sqrt{x^2+y^2} (\sqrt{x^2+y^2})^2 = 3(x^2+y^2)^{3/2}$.
Analogamente per gli altri.
Per quanto riguarda il secondo passaggio:
se adesso supponi $\delta\le 1$, avrai che i punti t.c. $|(x,y)-(0,0)|<\delta$ soddisfano
$\sqrt{x^2+y^2} < \delta\le 1$.
Sempre considerando, a titolo d'esempio, il secondo termine:
$3|xy^2| = 3 |x| |y|^2 \le 3 \sqrt{x^2+y^2} (\sqrt{x^2+y^2})^2 \le 3 \sqrt{x^2+y^2} \cdot 1^2 = 3 \sqrt{x^2+y^2}.$
Praticamente, un termine $\sqrt{x^2+y^2}$ lo tieni, gli altri li maggiori con $1$.
In maniera analoga tratti gli altri pezzi.
Ora tutto chiaro!
Grazie mille
Grazie mille
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