Continuità di f(x,y)

[gbspeedy]

$ { (arctan(xy)/(sqrt(1-x^2)-sqrt(1-y^2) ) se |x|!=|y|,0 se |x|=|y| ):} $
devo mostrare se è continua nell'origine.
faccio il $lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y)=lim_((x,y)=(0,0)) -2(xy)/(x^2+y^2)=-2lim_(rho->0^+) sin thetacostheta=-sin2theta$
dipendendo da $theta$ non ho continuità nell'origine.
mi potete dire se è giusto?

[Sk_Anonymous]

Come sei passato da questa

"gbspeedy":$ { (arctan(xy)/(sqrt(1-x^2)+sqrt(1-y^2) ) se |x|!=|y|,0 se |x|=|y| ):} $ [...]

a questa

"gbspeedy":[...] $-2(xy)/(x^2+y^2)$ [...]

?

[gbspeedy]

ho usato gli asintotici

[Sk_Anonymous]

E perché hai usato gli "asintotici" quando quel limite non è una forma indeterminata? \[\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\arctan(xy)}{\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1 - y^2}}=0 \]

[gbspeedy]

ho sbagliato il segno.il denominatore ha il -

[Sk_Anonymous]

Sì, e allora mi fai capire i conti che hai fatto? Ad occhio il termine quadratico (dato dall'hessiana) dello sviluppo di Taylor arrestato al secondo ordine non è quello lì

[gbspeedy]

$arctan(xy)=xy+o((x^2+y^2)^3)$
$sqrt(1-x^2)-sqrt(1-y^2)=1/2(y^2-x^2)+o((x^2+y^2)^3)$