Continuità di f'(x)
Svolgendo dei quiz di analisi matematica I, ne ho incontrato uno che mi ha fatto venire un dubbio.
Se f(x) è derivabile su un intervallo aperto I, allora f'(x) è continua in I
Il mio ragionamento è stato:
se f(x) è derivabile su I, allora è derivabile su ogni punto interno ad I, e più in particolare, il valore della derivata di f in c è uguale al valore di f'(c).
Se questo è vero, allora il limite destro e sinistro di f'(c) coincidono, e quindi la funzione è continua.
Se ci fosse un punto di discontinuità (salto, etc.), allora la f in quel punto non sarebbe derivabile (punto angoloso, etc.).
Mi è poi però venuta in mente la funzione $ f(x)={ ( x^2*sin(1/x) ,x!=0),( 0,x=0 ):} $
Continua e derivabile (verificato applicando il limite del rapporto incrementale).
La sua derivata è però $ f'(x)= 2x*sin(1/x)-cos(1/x) $ non continua in 0 (il limite sinistro e destro non sono definiti).
Adesso: io sapevo che se le condizioni di continuità sono verificate, allora $ f'(x) = lim_(x -> c) (f(x)-f(c))/(x-c),AA cin dom(f) $
ma questo non sembra esser vero per questa funzione.
Ora, i miei dubbi sono due:
1) Com'è possibile che la funzione pur essendo derivabile in 0, abbia derivata non definita in 0?
2) Come mai non si può fare affidamento alle regole di derivazione (per c = 0) anche se la funzione è continua?
Se f(x) è derivabile su un intervallo aperto I, allora f'(x) è continua in I
Il mio ragionamento è stato:
se f(x) è derivabile su I, allora è derivabile su ogni punto interno ad I, e più in particolare, il valore della derivata di f in c è uguale al valore di f'(c).
Se questo è vero, allora il limite destro e sinistro di f'(c) coincidono, e quindi la funzione è continua.
Se ci fosse un punto di discontinuità (salto, etc.), allora la f in quel punto non sarebbe derivabile (punto angoloso, etc.).
Mi è poi però venuta in mente la funzione $ f(x)={ ( x^2*sin(1/x) ,x!=0),( 0,x=0 ):} $
Continua e derivabile (verificato applicando il limite del rapporto incrementale).
La sua derivata è però $ f'(x)= 2x*sin(1/x)-cos(1/x) $ non continua in 0 (il limite sinistro e destro non sono definiti).
Adesso: io sapevo che se le condizioni di continuità sono verificate, allora $ f'(x) = lim_(x -> c) (f(x)-f(c))/(x-c),AA cin dom(f) $
ma questo non sembra esser vero per questa funzione.
Ora, i miei dubbi sono due:
1) Com'è possibile che la funzione pur essendo derivabile in 0, abbia derivata non definita in 0?
2) Come mai non si può fare affidamento alle regole di derivazione (per c = 0) anche se la funzione è continua?
Risposte
Non è detto che se una funzione è derivabile la derivata è continua in ogni punto. Il fatto che esiste la derivata non significa che in quel punto la funzione derivata non faccia salti o qualcosa del genere. Dire che la derivata è continua è garantire la seguente uguaglianza (usando convenzionalmente variabili diverse):
\(\displaystyle \lim_{w \to c}\left( \lim_{x \to w} \frac{f(x)-f(w)}{x-w}\right)=f'(w) \)
Possono esistere il limite destro e sinistro del rapporto incrementale, che restituisce una funzione, ma questo non garantisce che i limiti destro e sinistro di questa funzione siano uguali entrambi al valore restituito dalla funzione derivata in quel punto.
In particolare, se non mi sbaglio, si parla di classi di continuità (o di classe $C$ di una funzione).
\(\displaystyle \lim_{w \to c}\left( \lim_{x \to w} \frac{f(x)-f(w)}{x-w}\right)=f'(w) \)
Possono esistere il limite destro e sinistro del rapporto incrementale, che restituisce una funzione, ma questo non garantisce che i limiti destro e sinistro di questa funzione siano uguali entrambi al valore restituito dalla funzione derivata in quel punto.
In particolare, se non mi sbaglio, si parla di classi di continuità (o di classe $C$ di una funzione).
Ero convinto che ci fosse un legame più stretto tra rapporto incrementale e funzione derivata.
Ad esempio, la funzione $ f(x)=|x| $ presenta un punto angoloso in 0, ed infatti, la sua funzione derivata è:
$ f'(x)={ ( 1, x>0 ),( -1, x < 0 ):} $ che presenta una discontinuità di tipo salto in 0.
In realtà non mi è ancora chiaro questo concetto
Ad esempio, la funzione $ f(x)=|x| $ presenta un punto angoloso in 0, ed infatti, la sua funzione derivata è:
$ f'(x)={ ( 1, x>0 ),( -1, x < 0 ):} $ che presenta una discontinuità di tipo salto in 0.
In realtà non mi è ancora chiaro questo concetto
La prima funzione che hai postato, hai sbagliato la derivata:
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) & x \ge 0; \\ 0 & x<0 \end{cases} \)
La derivata è
\(\displaystyle f'(x)=\begin{cases} 2x\cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos x & x \ge 0; \\ 0 & x<0 \end{cases} \)
Che è discontinua. La seconda, la funzione valore assoluto non è derivabile in $x=0$.
Edit: Mi scuso se ho fatto molta confusione ma non mi era chiaro il tutto.
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) & x \ge 0; \\ 0 & x<0 \end{cases} \)
La derivata è
\(\displaystyle f'(x)=\begin{cases} 2x\cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos x & x \ge 0; \\ 0 & x<0 \end{cases} \)
Che è discontinua. La seconda, la funzione valore assoluto non è derivabile in $x=0$.
Edit: Mi scuso se ho fatto molta confusione ma non mi era chiaro il tutto.
"MarcoTG":
1) Com'è possibile che la funzione pur essendo derivabile in 0, abbia derivata non definita in 0?
2) Come mai non si può fare affidamento alle regole di derivazione (per c = 0) anche se la funzione è continua?
1) La derivata è definita in $x=0$. Hai detto che $f$ è derivabile, no? E tramite la definizione calcoli $f'(0)$, che vale zero; come hai notato, però, $f'(x)$ non ammette limite per $x\to 0$ (e in particolare è discontinua in $x=0$).
Questo accade proprio perché la derivata è discontinua in $x=0$.
2) Perché non sono soddisfatte le ipotesi del "teorema della derivata del prodotto": se $u,v$ sono derivabili in $x_0$, allora ($uv$ è derivabile in $x_0$ e) si ha
\[(uv)'(x_0)=u'(x_0)v(x_0)+u(x_0)v'(x_0)\]
La funzione che hai proposto ti mostra che non vale il viceversa: si ha $f=uv$ con $u(x)=x^2$ e $v(x)=sin(1/x)$; $uv$ è derivabile in $x_0=0$, nonostante $v$ non lo sia (non è nemmeno definita in $x_0$).
Una funzione derivabile è anche continua, questo è un teorema, non lo è il viceversa, cioè una funzione continua è per forza derivabile. Pertanto non è sempre vero che se una funzione è continua allora è anche derivabile. Il fatto che la funzione sia continua in $c$ non garantisce che la funzione sia derivabile appunto in $c$. Lo stesso caso si ha per il valore assoluto, funzione continua in $0$ ma non derivabile in $0$.
Ho visto che Plepp ha pubblicato un esercizio:
viewtopic.php?f=36&t=182513
Quello è un ottimo esercizio per i dubbi che sono emersi in questo topic. Un po' tutta la storia è contenuta in quell'esercizio e nell'esempio proposto da Campion prima:
\[
f(x)=\begin{cases} x^2\sin (1/x), & x\ne 0 \\ 0, & x=0.\end{cases}\]
Se uno capisce queste due cose, è a cavallo.
viewtopic.php?f=36&t=182513
Quello è un ottimo esercizio per i dubbi che sono emersi in questo topic. Un po' tutta la storia è contenuta in quell'esercizio e nell'esempio proposto da Campion prima:
\[
f(x)=\begin{cases} x^2\sin (1/x), & x\ne 0 \\ 0, & x=0.\end{cases}\]
Se uno capisce queste due cose, è a cavallo.
"dissonance":
Ho visto che Plepp ha pubblicato un esercizio:
viewtopic.php?f=36&t=182513
Quello è un ottimo esercizio per i dubbi che sono emersi
in questo topic. Un po' tutta la storia è contenuta in quell'esercizio e nell'esempio proposto da Campion prima:
\[
f(x)=\begin{cases} x^2\sin (1/x), & x\ne 0 \\ 0, & x=0.\end{cases}\]
Se uno capisce queste due cose, è a cavallo.
L’idea è partita da questo 3d in effetti
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