Continuità di funzioni definite da serie di potenze
Considero la funzione \(\displaystyle f:(-R,R) \to \mathbb{R} \) definita da \[\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}, \qquad x \in (-R,R) \] dove \(\displaystyle 0
Di questo fatto avevo già visto una dimostrazione l'anno scorso, ma alla luce di alcune mie nuove conoscenze credo che si possa evitare di far esageratamente di conto.
In effetti voglio intanto dimostrare che \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} f(x)=f(x_{0}) \), con \(\displaystyle x_{0} \in \text{Acc}[0,R) \) qualunque. L'idea è quella di sfruttare il teorema sullo scambio dei limiti, verificando di essere nelle ipotesi. Considero pertanto la successione di funzioni \(\displaystyle f_{n}:[0,R) \to \mathbb{R} \) (il caso \(\displaystyle (-R,0] \) dovrebbe essere simmetrico - ?) definita da \[\displaystyle f_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} \]E' chiaro come una tale successione converga puntualmente ad \(\displaystyle f(x) \). Ora, devo in primo luogo verificare che \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \|f_{n} - f \|_{\infty}=0 \] cioè che \(\displaystyle f_{n} \) converga uniformemente ad \(\displaystyle f(x) \) su \(\displaystyle [0,R) \). Pertanto si ha \[\displaystyle \text{sup}_{x \in [0, \ R)}|f_{n}-f|=\sum_{k=n+1}^{\infty} a_{k} \delta^{k} \qquad \text{ove} \ \delta \in [0,R)\]passando al limite per \(\displaystyle n \to \infty \) si ha \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \|f_{n} - f \|_{\infty}=\sum_{k=\infty}^{\infty} a_{k} \delta^{k}=0 \] Prima questione: posso affermare che il limite qui sopra è proprio \(\displaystyle 0 \)? A me parrebbe di sì, visto che si deve avere \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} \delta^{n}=0 \) come condizione necessaria di convergenza, e quella "serie sta sommando un solo termine, ovvero quello all'infinito" - in effetti da un certo \(\displaystyle \overline{n} \) la somma della serie dovrebbe poter essere controllabile dall'alto tramite una costante positiva piccola a piacere visto che il termine generale deve essere infinitesimo ( - tra l'altro mi sovviene or ora che in \(\displaystyle \delta \) la convergenza è pure assoluta).
Di questo fatto avevo già visto una dimostrazione l'anno scorso, ma alla luce di alcune mie nuove conoscenze credo che si possa evitare di far esageratamente di conto.
In effetti voglio intanto dimostrare che \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} f(x)=f(x_{0}) \), con \(\displaystyle x_{0} \in \text{Acc}[0,R) \) qualunque. L'idea è quella di sfruttare il teorema sullo scambio dei limiti, verificando di essere nelle ipotesi. Considero pertanto la successione di funzioni \(\displaystyle f_{n}:[0,R) \to \mathbb{R} \) (il caso \(\displaystyle (-R,0] \) dovrebbe essere simmetrico - ?) definita da \[\displaystyle f_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} \]E' chiaro come una tale successione converga puntualmente ad \(\displaystyle f(x) \). Ora, devo in primo luogo verificare che \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \|f_{n} - f \|_{\infty}=0 \] cioè che \(\displaystyle f_{n} \) converga uniformemente ad \(\displaystyle f(x) \) su \(\displaystyle [0,R) \). Pertanto si ha \[\displaystyle \text{sup}_{x \in [0, \ R)}|f_{n}-f|=\sum_{k=n+1}^{\infty} a_{k} \delta^{k} \qquad \text{ove} \ \delta \in [0,R)\]passando al limite per \(\displaystyle n \to \infty \) si ha \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \|f_{n} - f \|_{\infty}=\sum_{k=\infty}^{\infty} a_{k} \delta^{k}=0 \] Prima questione: posso affermare che il limite qui sopra è proprio \(\displaystyle 0 \)? A me parrebbe di sì, visto che si deve avere \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} \delta^{n}=0 \) come condizione necessaria di convergenza, e quella "serie sta sommando un solo termine, ovvero quello all'infinito" - in effetti da un certo \(\displaystyle \overline{n} \) la somma della serie dovrebbe poter essere controllabile dall'alto tramite una costante positiva piccola a piacere visto che il termine generale deve essere infinitesimo ( - tra l'altro mi sovviene or ora che in \(\displaystyle \delta \) la convergenza è pure assoluta).
Risposte
"Delirium":
Pertanto si ha \[\displaystyle \text{sup}_{x \in [0, \ R)}|f_{n}-f|=\sum_{k=n+1}^{\infty} a_{k} \delta^{k} \qquad \text{ove} \ \delta \in [0,R)\]
Sei convinto di ciò?
Per niente, ora che ci penso. Quello lì è eventualmente un \(\displaystyle \text{max} \), di cui però l'esistenza non è garantita, dal momento che non so se la funzione è continua (e di conseguenza non mi posso appoggiare al th. di Weierstrass)... Vedo bene?
Il fatto è che per pulire quello schifo bisognerebbe trovare una bella maggiorazione, ma non mi viene in mente niente... Hai qualche idea, Seneca?
Il fatto è che per pulire quello schifo bisognerebbe trovare una bella maggiorazione, ma non mi viene in mente niente... Hai qualche idea, Seneca?
Beh, in generale quel risultato non è vero. Si dimostra infatti che, per le serie di potenze, è garantita la convergenza uniforme nei compatti contenuti nell'intervallo di convergenza (non necessariamente converge uniformemente su $[0,R)$).
Puoi dire che, fissato $0 < \delta < R$ arbitrario, la serie di potenze converge uniformemente in $[0, \delta)$.
Puoi dire che, fissato $0 < \delta < R$ arbitrario, la serie di potenze converge uniformemente in $[0, \delta)$.
Ok, fin lì ci sono. I problemi sono però 2: (1) devo prendere un punto in \(\displaystyle [0,R) \) per cui \(\displaystyle f_{n}-f \) sia massima (ma non è continua, quindi come trovo un \(\displaystyle \text{sup} \)?) e (2) anche ammesso di fissare un punto a caso come ho fatto io e di supporre che in esso la funzione sia massima, quello che ne segue è una schifezza - e precisamente mi riferisco al punto in cui sparo a \(\displaystyle +\infty \) l'estremo inferiore di sommatoria.
Edit. Corretto refuso grammaticale.
Edit. Corretto refuso grammaticale.
I passaggi più naturali per mostrare che una serie di potenze è continua in ogni punto dell'intervallo di convergenza secondo me sono:
i) mostrare che (per le serie di potenze) c'è convergenza uniforme sui compatti contenuti nell'intervallo $(- R , R)$
ii) mostrare che la convergenza uniforme di una successione di funzioni in un certo intervallo implica la continuità della funzione limite
Allora è chiaro che se fissi $x \in (-R , R)$, esiste $[a,b] subset (-R , R)$ tale che $x \in (a,b)$ e la serie di potenze converge uniformemente su $[a,b]$ $\Rightarrow$ $f(x)$ è continua in \( [a,b] \ni x \).
Per l'altro dubbio (incapsulato nel ragionamento da te portato avanti), direi che se la serie numerica $sum_{k = 1}^{oo} a_k$ converge, allora $r_n = sum_{k = n+1}^{oo} a_k \to 0$ per $n -> +oo$ ( $r_n$ si dice la serie resto di indice $n$ ).
i) mostrare che (per le serie di potenze) c'è convergenza uniforme sui compatti contenuti nell'intervallo $(- R , R)$
ii) mostrare che la convergenza uniforme di una successione di funzioni in un certo intervallo implica la continuità della funzione limite
Allora è chiaro che se fissi $x \in (-R , R)$, esiste $[a,b] subset (-R , R)$ tale che $x \in (a,b)$ e la serie di potenze converge uniformemente su $[a,b]$ $\Rightarrow$ $f(x)$ è continua in \( [a,b] \ni x \).
Per l'altro dubbio (incapsulato nel ragionamento da te portato avanti), direi che se la serie numerica $sum_{k = 1}^{oo} a_k$ converge, allora $r_n = sum_{k = n+1}^{oo} a_k \to 0$ per $n -> +oo$ ( $r_n$ si dice la serie resto di indice $n$ ).
"Seneca":
[...] ii) mostrare che la convergenza uniforme di una successione di funzioni in un certo intervallo implica la continuità della funzione limite [...]
Esatto Seneca, ed è proprio quanto avevo in mente di fare mediante il teorema sullo scambio dei limiti (la verifica della seconda ipotesi è semplice in quanto tutte le \(\displaystyle f_{n} \) sono polinomi e quindi continue in qualsiasi punto si scelga). Il problema è che non riesco a provare che la convergenza della \(\displaystyle (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) verso \(\displaystyle f \) è uniforme su di un certo intervallo. Di fatto la mia \(\displaystyle f_{n} - f \) è ancora una serie di potenze (che definisce appunto una funzione), e pertanto mi risulta un po' ostico trovare un'espressione del suo estremo superiore.
Edit. Corretto refuso grammaticale.
$\delta \in (0, R)$
\[\displaystyle \text{sup}_{[0, \delta)} |f_{n} - f | = \text{sup}_{[0, \delta)} \left | \sum_{k=n+1}^{\infty} a_{k} x^{k} \right | \le \text{sup}_{[0, \delta)} \sum_{k=n+1}^{\infty} |a_{k}| |x|^{k} \le \sum_{k=n+1}^{\infty} |a_{k}| \delta^{k} \]
Essendo $\delta \in (0, R)$, hai che $\sum_{k=1}^{\infty} |a_{k}| \delta^{k} < +oo $ (convergenza assoluta) e quindi \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=n+1}^{\infty} |a_{k}| \delta^{k} = 0 \text{ la serie resto}\]
Così resta provato che, $\forall \delta \in (0,R)$, $\sum_k^n a_k x^k$ converge uniformemente in $[0, \delta] \subset (- R , R)$.
Cercavi qualcosa di simile?
\[\displaystyle \text{sup}_{[0, \delta)} |f_{n} - f | = \text{sup}_{[0, \delta)} \left | \sum_{k=n+1}^{\infty} a_{k} x^{k} \right | \le \text{sup}_{[0, \delta)} \sum_{k=n+1}^{\infty} |a_{k}| |x|^{k} \le \sum_{k=n+1}^{\infty} |a_{k}| \delta^{k} \]
Essendo $\delta \in (0, R)$, hai che $\sum_{k=1}^{\infty} |a_{k}| \delta^{k} < +oo $ (convergenza assoluta) e quindi \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=n+1}^{\infty} |a_{k}| \delta^{k} = 0 \text{ la serie resto}\]
Così resta provato che, $\forall \delta \in (0,R)$, $\sum_k^n a_k x^k$ converge uniformemente in $[0, \delta] \subset (- R , R)$.
Cercavi qualcosa di simile?
Sì, e mi pare infine allora che quanto ho scritto in partenza non differisca molto da quest'ultimo tuo ragionamento, se non per quei due punti che mi hai aiutato a chiarire (serie resto ed estremo superiore).
Tuttavia mi sorge adesso un dubbio: quando devo studiare la convergenza uniforme di \(\displaystyle |f_{n} - f| \), che è una serie di potenze che identifica però una funzione, devo ricavarne l'estremo superiore in un certo intervallo. Ora, che legame c'è tra questo estremo superiore ed il \(\displaystyle \delta < R \) che crea lo "sbarramento" per la convergenza uniforme*? Questo è un punto focale della questione, e probabilmente sto facendo un filo di confusione... In altri termini: quando dico che una serie di funzioni converge uniformemente sto affermando che la successione delle ridotte \(\displaystyle n \)-esime converge uniformemente, giusto? E quindi, per esempio, il criterio di Weierstrass sulla convergenza uniforme di serie di funzioni (che applico direttamente "sulla" serie) mi da informazioni sulla convergenza della successione di funzioni definita tramite le ridotte \(\displaystyle n \)-esime? Spero che il mio dubbio sia sufficientemente manifesto.
*Cerco di esplicitare con un esempio: la funzione \(\displaystyle \sin x \) è esprimibile tramite la serie di potenze \[\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \] che ha raggio di convergenza \(\displaystyle R=+\infty \). Tuttavia questo non ha nulla a che vedere con il massimo della funzione, che è assunto per \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2} \) su \(\displaystyle [0,2\pi) \)... E questo esempio è all'origine dell'idea che sta dietro al passaggio che hai quotato più sopra, Seneca.
Tuttavia mi sorge adesso un dubbio: quando devo studiare la convergenza uniforme di \(\displaystyle |f_{n} - f| \), che è una serie di potenze che identifica però una funzione, devo ricavarne l'estremo superiore in un certo intervallo. Ora, che legame c'è tra questo estremo superiore ed il \(\displaystyle \delta < R \) che crea lo "sbarramento" per la convergenza uniforme*? Questo è un punto focale della questione, e probabilmente sto facendo un filo di confusione... In altri termini: quando dico che una serie di funzioni converge uniformemente sto affermando che la successione delle ridotte \(\displaystyle n \)-esime converge uniformemente, giusto? E quindi, per esempio, il criterio di Weierstrass sulla convergenza uniforme di serie di funzioni (che applico direttamente "sulla" serie) mi da informazioni sulla convergenza della successione di funzioni definita tramite le ridotte \(\displaystyle n \)-esime? Spero che il mio dubbio sia sufficientemente manifesto.
*Cerco di esplicitare con un esempio: la funzione \(\displaystyle \sin x \) è esprimibile tramite la serie di potenze \[\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \] che ha raggio di convergenza \(\displaystyle R=+\infty \). Tuttavia questo non ha nulla a che vedere con il massimo della funzione, che è assunto per \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2} \) su \(\displaystyle [0,2\pi) \)... E questo esempio è all'origine dell'idea che sta dietro al passaggio che hai quotato più sopra, Seneca.
Vediamo se ho compreso il tuo $\delta$-dubbio.
Fissa $\delta \in (0, R)$.
\[\displaystyle |f_{n}(x) - f(x) | = \left | \sum_{k=n+1}^{\infty} a_{k} x^{k} \right | \le \sum_{k=n+1}^{\infty} |a_{k}| |x|^{k} \le \sum_{k=n+1}^{\infty} |a_{k}| \delta^{k} \text{ se } x \in (- \delta , \delta) \]
Quindi
\[\displaystyle \text{sup}_{ x \in (- \delta, \delta)} |f_{n}(x) - f(x) | \le \text{sup}_{ x \in (- \delta, \delta)} \sum_{k=n+1}^{\infty} |a_{k}| \delta^{k} = \sum_{k=n+1}^{\infty} |a_{k}| \delta^{k} \]
Fin qui dovresti esserci. Ora, giacché $delta$ è scelto strettamente minore di $R$, la serie di potenze $f(x) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} a_k x^k$ converge assolutamente in $x_0 = \delta$. E quindi la serie reste all'ultimo membro della disuguaglianza scritta sopra è infinitesimo per $n -> +oo$. Proprio lo stare "stretto" all'interno dell'intervallo di convergenza ti permette di fare questa maggiorazione utile (che non funziona considerando $\text{sup}_{x \in (-R , R)}$).
Ti torna? Non farti problemi a sollevare ulteriori dubbi.
Quanto dici è corretto. La serie di potenze non è altro che la successione delle somme parziali.
Si dice che $sum_(k=1)^(oo) g_k(x)$ converge uniformemente/puntualmente in un certo insieme $A \subset \mathbb{R}$ se $sum_(k=1)^n g_k(x)$ converge uniformemente/puntualmente in $A$.
Fissa $\delta \in (0, R)$.
\[\displaystyle |f_{n}(x) - f(x) | = \left | \sum_{k=n+1}^{\infty} a_{k} x^{k} \right | \le \sum_{k=n+1}^{\infty} |a_{k}| |x|^{k} \le \sum_{k=n+1}^{\infty} |a_{k}| \delta^{k} \text{ se } x \in (- \delta , \delta) \]
Quindi
\[\displaystyle \text{sup}_{ x \in (- \delta, \delta)} |f_{n}(x) - f(x) | \le \text{sup}_{ x \in (- \delta, \delta)} \sum_{k=n+1}^{\infty} |a_{k}| \delta^{k} = \sum_{k=n+1}^{\infty} |a_{k}| \delta^{k} \]
Fin qui dovresti esserci. Ora, giacché $delta$ è scelto strettamente minore di $R$, la serie di potenze $f(x) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} a_k x^k$ converge assolutamente in $x_0 = \delta$. E quindi la serie reste all'ultimo membro della disuguaglianza scritta sopra è infinitesimo per $n -> +oo$. Proprio lo stare "stretto" all'interno dell'intervallo di convergenza ti permette di fare questa maggiorazione utile (che non funziona considerando $\text{sup}_{x \in (-R , R)}$).
Ti torna? Non farti problemi a sollevare ulteriori dubbi.
"Delirium":
[...] quando dico che una serie di funzioni converge uniformemente sto affermando che la successione delle ridotte \(\displaystyle n \)-esime converge uniformemente, giusto? E quindi, per esempio, il criterio di Weierstrass sulla convergenza uniforme di serie di funzioni (che applico direttamente "sulla" serie) mi da informazioni sulla convergenza della successione di funzioni definita tramite le ridotte \(\displaystyle n \)-esime?
Quanto dici è corretto. La serie di potenze non è altro che la successione delle somme parziali.
Si dice che $sum_(k=1)^(oo) g_k(x)$ converge uniformemente/puntualmente in un certo insieme $A \subset \mathbb{R}$ se $sum_(k=1)^n g_k(x)$ converge uniformemente/puntualmente in $A$.
"Seneca":
[...] il tuo $\delta$-dubbio. [...]
Sì, credo che tu sia giunto al cuore della questione. Alla base del mio dubbio c'è un errore concettuale, e la parte finale della tua risposta lo risolve. Vediamo se riesco a trarre delle conclusioni riassuntive: sia data una successione di funzioni \(\displaystyle (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) ( - \(\displaystyle f_{n}:[a,b] \to \mathbb{R}, \quad aespressione analitica esplicita. Esempio: la successione \[\displaystyle f_{n}=\left( 1 + \frac{x}{n} \right)^{n} \to_{\text{puntualmente}} \ e^{x} \]
Volendo poi studiarne la convergenza uniforme, formo (evvai con i giochi di parole!) la successione delle differenze (e bandisco il modulo) \[\displaystyle \phi_{n}(x)=e^{x} - \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^{n} \] e vado a studiarne la derivata prima per ricavarne il massimo ecc... In tal modo posso ottenere le informazioni che cerco.
Se invece la successione di funzioni è del tipo \[\displaystyle f_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{k} \] la convergenza puntuale è verso la funzione \[\displaystyle f=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} \] - sempre a patto che si rimanga all'interno del raggio di convergenza, dove si hanno certe garanzie. In questo caso si avrebbe appunto \[\displaystyle \eta_{n}(x)=\sum_{k=n+1}^{\infty} a_{k} x^{k} \]
Il mio turbamento nasceva dal fatto di dover trovare un punto in cui \(\displaystyle \eta_{n}(x) \) fosse massima (oppure un estremo superiore), il che mi sembrava impossibile, non avendo la possibilità di calcolarne la derivata prima. In realtà quindi, se ho ben capito, la successione \(\displaystyle f_{n} \) converge uniformemente se \(\displaystyle \eta_{n}(x) \) "risponde" all'\(\displaystyle M\)-\(\displaystyle\text{text} \) o a qualche altro criterio per la conv. unif.
E' in definitiva corretto quanto dico?
Il resto mi è chiaro, ed anche sulla giusta formalizzazione che hai fatto su \(\displaystyle \delta \) e compagnia non avevo perplessità.
In ultimo: mi pare che la dimostrazione del fatto che la \(\displaystyle f \) del capothread sia \(\displaystyle \mathcal{C}^{\infty} \) discenda abbastanza linearmente dal teorema sullo scambio di derivata e somma - ad occhio direi che ci sono "controlli" similari da farsi.
Nota che io non ho usato (esplicitamente) l'$M- \text{test}$ di Weierstrass. Ho semplicemente verificato la convergenza uniforme mediante la definizione (spero in maniera corretta), stimando dall'alto la norma $oo$ di $eta_n (x)$ con una successione infinitesima.
"Delirium":
In ultimo: mi pare che la dimostrazione del fatto che la \(\displaystyle f \) del capothread sia \(\displaystyle \mathcal{C}^{\infty} \) discenda abbastanza linearmente dal teorema sullo scambio di derivata e somma - ad occhio direi che ci sono "controlli" similari da farsi.
Certo. Per esempio devi verificare che la serie (di potenze) che si ottiene derivando t.a.t. la serie di partenza abbia lo stesso raggio di convergenza di quest'ultima.
"Seneca":
Nota che io non ho usato (esplicitamente) l'$M- \text{test}$ di Weierstrass. Ho semplicemente verificato la convergenza uniforme mediante la definizione (spero in maniera corretta), stimando dall'alto la norma $oo$ di $eta_n (x)$ con una successione infinitesima.
Sì, ma il succo della questione non cambia (il mio non voleva essere un riferimento particolare) - ovverosia l'importante è che abbia dissipato quel dubbio lì. Grazie!
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