Continuità di funzioni composte continue: domanda sulla dimostrazione del teorema

[curiosone1]

Ciao ragazzi, allora ho questo famoso teorema, ve lo spiego "informalmente": siano date due funzioni continue f e g, la funzione g composta f è ancora una funzione continua.

Prima di tutto:
Definizione di continuità: siano dati (X, dx) e (Y, dy) due spazi metrici, sia A sottoinsieme di X e A diverso dall'insieme vuoto, sia l appartenente a Y e sia data f, una funzione definita su A con valori in Y, sia x0 appartenente a X e punto di accomulazione per A.
La funzione f(x)=l è continua, se per definizione, per ogni e>0 esiste d>0 tale che dx(x, x0)
Passiamo al teorema che ci interessa:
Ora passiamo al teorema formale di continuità di funzioni composte:
(1) Sia (X, dx) uno spazio metrico, sia A sottoinsieme di X e A diverso dall'insieme vuoto.
(2) Sia (Y, dy) uno spazio metrico, sia B sottoinsieme di Y e B diverso dall'insieme vuoto.
(3) Sia (Z, dz) uno spazio metrico, sia C sottoinsieme di Z e C diverso dall'insieme vuoto.
(4) Sia f una funzione definita su A con valori in B.
(5) Sia g una funzione definita su B con valori in C.
(6) Sia xo un punto di accomulazione per A.
(7) Sia y0 un punto di accomulazione per B.
Quindi posso affermare che: la funzione g composto f è una funzione continua su tutto A.

Dimostrazione La tecnica che uso per la dimostrazione è la seguente: applico la definizione di continuità su f, poi applico la definizione di continuità su g e poi, per ultimo passo, farò un mix tra le due definizioni appena scritte.
Passo 1: La funzione f(x)=l è continua, se per definizione, per ogni e>0 esiste d>0 tale che dx(x, x0) Passo 2: La funzione g(y)=m è continua, se per definizione, per ogni b>0 esiste a>0 tale che dy(y, y0) Passo 3: ora devo fare il mix tra i passi 1 e 2, quindi scrivere una nuova definizione di continuità che metta d'accordo entrambi i passi. Allora (secondo me! sicuramente c'è qualche errore):
La funzione (g composto f)(A) è continua se per ogni b>0, esiste XXX>0 tale che la dx(x, x0)<XXX per ogni x appartenente a A e il tutto vale dz(g(f(A)), (g composto f))

Allora la mia definizione di continuità per funzioni composto ha qualche problema:
(A) che ci metto in XXX? Intuisco che ci sarà qualche legame con A e B ma non so quale di preciso...
(B) non sono affatto sicuro quando affermo dx(x, x0)<... per ogni x appartenente a QUALE INSIEME?
(C) Ho fatto altri errori? Se sì, potreste gentilmente indicare?

Grazie mille ragazzi/e