Continuità di funzioni

[littlestar-votailprof]

C'è un passo sul mio libro che non riesco a capire bene, voglio chiedere il vostro parere:

"Preso un punto c e considerato il punto $x=c+h$, dove h è un numero positivo o negativo, quando h tende a 0, allora x tende a c; è quindi indifferente scrivere lim per x->c di f(x) oppure lim per h->0 di f(c+h);se una funzione è continua in c, possiamo allora scrivere che
lim per h->0 di f(c+h)=f(c)"

fino a qui si capisce benissimo, però poi prosegue:
"Detto in altri termini, questo significa che, se una funzione è continua in un punto c, a piccole variazioni della variabile indipendente x, corrispondono piccole variazioni della variabile dipendente f(x)"

Non lo capisco proprio questo passaggio, se la funzione è una retta y=k a qualsiasi variazione di x, non corrisponde proprio nessunissima variazione di y!O forse y qui non è dipendente? Magari sono io che interpreto male il concetto di variazione (per me è la differenza tra due valori di x)...

[david_e1]

Il tuo libro dice il giusto: la continuità è una forma di "stabilità". Si può, infatti, pensare la continuità come la richiesta della condizione seguente:

$ f(x+h) \approx f(x) $

ovviamente poi la definizione è un po' più complicata e precisa per evituare ambiguità...

Nel caso della funzione identicamente uguale a $k$:

$ f(x) = k \qquad \forall x$

si ha:

$ f(x+h) = f(x) \qquad \forall h,x$

e in effetti la funzione è continua.... una variazione nulla è una variazione molto piccola!

PS : Scusami se mi sono dilungato!

[littlestar-votailprof]

Grazie Davide.
Ho consultato un altro mio manuale di analisi e lì effettivamente c'è scritto:
$h=Deltax$
lim per x->$Deltax$ di $Deltaf$=0

e così è decisamente tutto più chiaro, meno ambiguo e soprattutto dimostrato