Continuità di funzione particolare
Buonasera a tutti. Ho un altro esercizio della cui risoluzione non sono certo:
Rifacendomi direttamente alla definizione di continuità (non dispongo, per ora, d'altri strumenti), ho pensato di primo impatto che in tutti i punti \(\displaystyle x \) tali che \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\smallsetminus\mathbb{Q} \) la funzione così definita è continua. Tuttavia, fissato un \(\displaystyle x_{0} \in \mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Q} \), posso determinare un intorno \(\displaystyle I_{x_{0}} \subset \mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Q} \) tale che \(\displaystyle \forall \epsilon>0 \quad \exists \delta>0 \) tale che \(\displaystyle \forall x \in I_{x_{0}} \) valga la nota implicazione? Un tale intorno, costituito solo da "reali non razionali" non esiste, perché \(\displaystyle \mathbb{Q} \) è denso in \(\displaystyle \mathbb{R} \), e quindi avrei sempre e comunque un intruso. Questo fatto mi disturba perché se vado a beccare nell'intorno un punto \(\displaystyle x \) che appartiene ai razionali, la differenza \(\displaystyle |f(x_{0})-f(x)| \) non è più costantemente nulla. La domanda è quindi: è ad ogni modo possibile, \(\displaystyle \forall \epsilon >0 \), determinare un intorno del punto in questione tale che \(\displaystyle |f(x_{0})-f(x)| \) sia minore di \(\displaystyle \epsilon \), anche se tra i punti dell'intorno sono presenti dei razionali? Secondo me sì, ma non ne sono certo.
Grazie per l'attenzione.
Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) la funzione definita nel seguente modo: \[\displaystyle f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{se} \quad x \in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q} \\ \frac{1}{q}, & \mbox{se} \quad x=\frac{p}{q} \quad \mbox{con} \ p,q\in \mathbb{Z},\ q>0,\ \mbox{coprimi} \end{cases} \]
Calcolare l'insieme dei punti in cui \(\displaystyle f \) è continua (nella distanza standard).
Rifacendomi direttamente alla definizione di continuità (non dispongo, per ora, d'altri strumenti), ho pensato di primo impatto che in tutti i punti \(\displaystyle x \) tali che \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\smallsetminus\mathbb{Q} \) la funzione così definita è continua. Tuttavia, fissato un \(\displaystyle x_{0} \in \mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Q} \), posso determinare un intorno \(\displaystyle I_{x_{0}} \subset \mathbb{R} \smallsetminus \mathbb{Q} \) tale che \(\displaystyle \forall \epsilon>0 \quad \exists \delta>0 \) tale che \(\displaystyle \forall x \in I_{x_{0}} \) valga la nota implicazione? Un tale intorno, costituito solo da "reali non razionali" non esiste, perché \(\displaystyle \mathbb{Q} \) è denso in \(\displaystyle \mathbb{R} \), e quindi avrei sempre e comunque un intruso. Questo fatto mi disturba perché se vado a beccare nell'intorno un punto \(\displaystyle x \) che appartiene ai razionali, la differenza \(\displaystyle |f(x_{0})-f(x)| \) non è più costantemente nulla. La domanda è quindi: è ad ogni modo possibile, \(\displaystyle \forall \epsilon >0 \), determinare un intorno del punto in questione tale che \(\displaystyle |f(x_{0})-f(x)| \) sia minore di \(\displaystyle \epsilon \), anche se tra i punti dell'intorno sono presenti dei razionali? Secondo me sì, ma non ne sono certo.
Grazie per l'attenzione.
Risposte
Meglio ancora.
Anche se ora non ho tempo per leggere attentamente il contenuto di quelle discussioni.
Anche se ora non ho tempo per leggere attentamente il contenuto di quelle discussioni.
Bel vespaio 
sarebbe corretto risolverlo semplicemente così?
chiaramente sui razionali è discontinua perché blabla...
per ogni irrazionale, una successione di cauchy convergente ad esso costituita da razionali ha denominatore che tende ad infinito, quindi è continua.
chiaramente sui razionali è discontinua perché blabla...
per ogni irrazionale, una successione di cauchy convergente ad esso costituita da razionali ha denominatore che tende ad infinito, quindi è continua.
Per completezza, riporto [url=https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:sR4DqHf4HN0J:www.math.washington.edu/~morrow/334_11/thomae.pdf+thomae's+function&hl=it&gl=it&pid=bl&srcid=ADGEESh2npSaYf0BrJOxM1HmKmswza5pYPzDoDxklnQ-b6LdM6sX8mlrgx-tdh-XbHx23Owe9mGrubu_9x-CuGMOqijbGxTVM4kEkYpmX_i3yZ2zZJsIoftx1T5hWLw8qj11lZORwCz7&sig=AHIEtbSgeWP5wuQlGgsFYxDUvz8Bieg0yA]questa dimostrazione[/url].
La funzione in questione è nota come Thomae's function o Popcorn function, versione modificato della forse più conosciuta funzione di Dirichlet.
La funzione in questione è nota come Thomae's function o Popcorn function, versione modificato della forse più conosciuta funzione di Dirichlet.
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