Continuità di funzione a due variabili
Volevo proporre un esercizio base per chiedere alcuni chiarimenti...
sia data la funzione: $f(x,y)=\{(y^2log(x)/((x-1)^2+y^2)\ se\ (x,y)!=(0,0)),(1\ se\ (x,y)=(1,0)):}$
Devo verificare la continuità nel punto (1,0), quindi calcolo il limite usando le coordinate polari, ponendo $x=hcos(\theta)\; \y=hsin(\theta)$
$lim_{h->0}sin^2(\theta)log(1+hcos(\theta))=0$
Ora se ho ben capito con il passaggio seguente dovrei verificare che il limite sia uniforme rispetto all'angolo scelto, ossia che indipendentemente dall'angolo theta scelto, il limite sia sempre lo stesso(giusto?)(*). Quindi dovrei trovare una funzione dipendente solo da $h$ che tenda a 0 e verificare che:
$0<=|sin^2(\theta)log(1+hcos(\theta))-0|<=g(h)$
Dalla maggiorazione che ho fatto: $sin^2(\theta)<=1\; log(1+hcos(\theta))<=log(1+h)=g(h)$ grazie alla monotonia della funzione logaritmo.
$lim_{h->0}g(h)=0$ e quindi questa dovrebbe essere la conferma che il limite: $lim_{(x,y)->(1,0)}f(x,y)=0$
e quindi la funzione non è continua... Contrariamente al mio risultato, la soluzione dovrebbe essere (fonte: dispense) che la funzione sia continua in (1,0). Dove ho commesso l'errore? E'corretto il ragionamento espresso qui(*)?
Grazie
sia data la funzione: $f(x,y)=\{(y^2log(x)/((x-1)^2+y^2)\ se\ (x,y)!=(0,0)),(1\ se\ (x,y)=(1,0)):}$
Devo verificare la continuità nel punto (1,0), quindi calcolo il limite usando le coordinate polari, ponendo $x=hcos(\theta)\; \y=hsin(\theta)$
$lim_{h->0}sin^2(\theta)log(1+hcos(\theta))=0$
Ora se ho ben capito con il passaggio seguente dovrei verificare che il limite sia uniforme rispetto all'angolo scelto, ossia che indipendentemente dall'angolo theta scelto, il limite sia sempre lo stesso(giusto?)(*). Quindi dovrei trovare una funzione dipendente solo da $h$ che tenda a 0 e verificare che:
$0<=|sin^2(\theta)log(1+hcos(\theta))-0|<=g(h)$
Dalla maggiorazione che ho fatto: $sin^2(\theta)<=1\; log(1+hcos(\theta))<=log(1+h)=g(h)$ grazie alla monotonia della funzione logaritmo.
$lim_{h->0}g(h)=0$ e quindi questa dovrebbe essere la conferma che il limite: $lim_{(x,y)->(1,0)}f(x,y)=0$
e quindi la funzione non è continua... Contrariamente al mio risultato, la soluzione dovrebbe essere (fonte: dispense) che la funzione sia continua in (1,0). Dove ho commesso l'errore? E'corretto il ragionamento espresso qui(*)?
Grazie
Risposte
Quelle coordinate polari non vanno bene, perché hanno centro nell’origine e non in $(1,0)$. Rifai tutto, facendo come prima cosa il cambio di variabile $X=x-1, Y=y$. Nelle nuove coordinate $X, Y$ dovrai calcolare il limite per $(X, Y)\to (0,0)$.
Ciao m_2000,
Non è che c'è qualche errore nella definizione di $f(x, y) $ che in realtà magari è definita nel modo seguente?
$ f(x,y) = \{(y^2 (log(x))/((x-1)^2+y^2) \text{ se } x > 0; (x,y) \ne (1,0)),(0 \text{ se } (x,y)=(1,0)):} $
Non è che c'è qualche errore nella definizione di $f(x, y) $ che in realtà magari è definita nel modo seguente?
$ f(x,y) = \{(y^2 (log(x))/((x-1)^2+y^2) \text{ se } x > 0; (x,y) \ne (1,0)),(0 \text{ se } (x,y)=(1,0)):} $
Ciao, scusate il ritardo 
!
Ho commesso due errori di trascrizione:
1) Le coordinate polari che ho usato sono: $x=1+hcos(\theta)\; \ \y=hsin(\theta)$
Comunque, anche tramite il cambio di variabile, ho che $X=x-1\; \ \Y=y$ quindi il limite diventa:
$lim_{(X,Y)->(0,0)}(Y^2log(1+X)/(X^2+Y^2))=$passaggio alle coordinate polari X=hcos(\theta), Y=hsin(\theta) $=lim_{h->0}(h^2sin^2(\theta)log(1+hcos(\theta))/h^2)$
Quindi il limite porta a 0 , però $f(x,y)=1\ se\ (x,y)=(1,0)$ e quindi la funzione non è continua...(vedi il procedimento nel mio primo messaggio).
2)Riguardo il messaggio di pilloeffe: ho sbagliato la definizione: al primo rigo $(x,y)!=(1,0)$,
però la funzione vale 1 se $(x,y)=(1,0)$!
!Ho commesso due errori di trascrizione:
1) Le coordinate polari che ho usato sono: $x=1+hcos(\theta)\; \ \y=hsin(\theta)$
Comunque, anche tramite il cambio di variabile, ho che $X=x-1\; \ \Y=y$ quindi il limite diventa:
$lim_{(X,Y)->(0,0)}(Y^2log(1+X)/(X^2+Y^2))=$passaggio alle coordinate polari X=hcos(\theta), Y=hsin(\theta) $=lim_{h->0}(h^2sin^2(\theta)log(1+hcos(\theta))/h^2)$
Quindi il limite porta a 0 , però $f(x,y)=1\ se\ (x,y)=(1,0)$ e quindi la funzione non è continua...(vedi il procedimento nel mio primo messaggio).
2)Riguardo il messaggio di pilloeffe: ho sbagliato la definizione: al primo rigo $(x,y)!=(1,0)$,
però la funzione vale 1 se $(x,y)=(1,0)$!
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