Continuità di Funzione a 2 variabili
allora:
la mia funzione è:
$([1-cos(xy)]sin(2y))/((e^(x^2+y^2)-1)(log(x^2+y^2+1)))$
devo provare la continuità in $(0,0)$ quindi:
moltiplico e divido per $(x^2+y^2)^2$
e ottengo:
$\frac{(x^2+y^2)(x^2+y^2)}{(e^(x^2+y^2)-1)(log(x^2+y^2+1))}\frac{(1-cos(xy))sin(2y)}{(x^2+y^2)(x^2+y^2)} $
in questo modo la prima frazione ha limite noto 1.
moltiplico e divido per $(x^2y^2)(2y)$
$\frac{(1-cos(xy))sin(2y)}{(x^2y^2)(2y)}\frac{(x^2y^2)(2y)}{(x^2+y^2)(x^2+y^2)} $
in questo caso la prima frazione tende a 1/2, mentre la seconda
posso scriverla
$\frac{(xy)(xy)}{(x^2+y^2)(x^2+y^2)}2y $
e' corretto un ragionamento del genere? sto andando nella direzione giusta?
la mia funzione è:
$([1-cos(xy)]sin(2y))/((e^(x^2+y^2)-1)(log(x^2+y^2+1)))$
devo provare la continuità in $(0,0)$ quindi:
moltiplico e divido per $(x^2+y^2)^2$
e ottengo:
$\frac{(x^2+y^2)(x^2+y^2)}{(e^(x^2+y^2)-1)(log(x^2+y^2+1))}\frac{(1-cos(xy))sin(2y)}{(x^2+y^2)(x^2+y^2)} $
in questo modo la prima frazione ha limite noto 1.
moltiplico e divido per $(x^2y^2)(2y)$
$\frac{(1-cos(xy))sin(2y)}{(x^2y^2)(2y)}\frac{(x^2y^2)(2y)}{(x^2+y^2)(x^2+y^2)} $
in questo caso la prima frazione tende a 1/2, mentre la seconda
posso scriverla
$\frac{(xy)(xy)}{(x^2+y^2)(x^2+y^2)}2y $
e' corretto un ragionamento del genere? sto andando nella direzione giusta?
Risposte
qualcuno ha idee? perche' di questo passo mi sa che non si va da nessuna parte..
devo forse sviluppare seno e coseno intorno a zero??
devo forse sviluppare seno e coseno intorno a zero??
Il tuo ragionamento è corretto.
Alla fine arrivi a scrivere la tua funzione come
$f(x,y) = g(x,y) \frac{2x^2 y^3}{(x^2+y^2)^2}$,
dove $g$ soddisfa $\lim_{(x,y)\to (0,0)} g(x,y) = \frac{1}{2}$ (usando i limiti notevoli).
In particolare ti puoi restringere a un intorno $B$ dell'origine tale che
$0\le g(x,y) \le 1$ per ogni $(x,y)\in B$, $(x,y)\ne (0,0)$.
Ora hai che
$0\le |f(x,y)| \le \frac{2|x^2 y^3|}{(x^2+y^2)^2}\le 2|y|$ in $B$ esclusa l'origine.
da cui concludi che $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = 0$.
Osserva che per fare l'ultimo passaggio dell'ultima disuguaglianza usi il fatto che
$\frac{x^2}{x^2+y^2} \le 1$, $\frac{y^2}{x^2+y^2} \le 1$ per ogni $(x,y)\ne (0,0)$.
Alla fine arrivi a scrivere la tua funzione come
$f(x,y) = g(x,y) \frac{2x^2 y^3}{(x^2+y^2)^2}$,
dove $g$ soddisfa $\lim_{(x,y)\to (0,0)} g(x,y) = \frac{1}{2}$ (usando i limiti notevoli).
In particolare ti puoi restringere a un intorno $B$ dell'origine tale che
$0\le g(x,y) \le 1$ per ogni $(x,y)\in B$, $(x,y)\ne (0,0)$.
Ora hai che
$0\le |f(x,y)| \le \frac{2|x^2 y^3|}{(x^2+y^2)^2}\le 2|y|$ in $B$ esclusa l'origine.
da cui concludi che $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = 0$.
Osserva che per fare l'ultimo passaggio dell'ultima disuguaglianza usi il fatto che
$\frac{x^2}{x^2+y^2} \le 1$, $\frac{y^2}{x^2+y^2} \le 1$ per ogni $(x,y)\ne (0,0)$.
altro problema.. stavolta devo dimostrare la continuita' sempre in $(0,0)$ di qeusta funzione:
$f(x,y)=\frac{log(1+xy)-sin(xy)}{e^(3(x^2+y^2))-1}$
come prima moltiplico e divido per $3(x^2+y^2)$ per "mandare via" l'esponenziale..
$lim_((x,y)->(0,0)) \frac{log(1+xy)-sin(xy)}{3(x^2+y^2)}=lim_((x,y)->(0,0))\frac{log(1+xy)}{3(x^2+y^2)}-\frac{sin(xy)}{3(x^2+y^2)}$
come procedo??
mi spiego meglio.. se moltiplico e divido per $xy$ per ricollegarmi ai limiti notevoli, non mi pare si possa dire di arrivare a conclusione degnamente, in quanto il risultato sarebbe
$lim_((x,y)->(0,0)) \frac{xy}{3(x^2+y^2)}-\frac{xy}{3(x^2+y^2)}$
che non mi pare possa esserci di qualche aiuto..
help..
$f(x,y)=\frac{log(1+xy)-sin(xy)}{e^(3(x^2+y^2))-1}$
come prima moltiplico e divido per $3(x^2+y^2)$ per "mandare via" l'esponenziale..
$lim_((x,y)->(0,0)) \frac{log(1+xy)-sin(xy)}{3(x^2+y^2)}=lim_((x,y)->(0,0))\frac{log(1+xy)}{3(x^2+y^2)}-\frac{sin(xy)}{3(x^2+y^2)}$
come procedo??
mi spiego meglio.. se moltiplico e divido per $xy$ per ricollegarmi ai limiti notevoli, non mi pare si possa dire di arrivare a conclusione degnamente, in quanto il risultato sarebbe
$lim_((x,y)->(0,0)) \frac{xy}{3(x^2+y^2)}-\frac{xy}{3(x^2+y^2)}$
che non mi pare possa esserci di qualche aiuto..
help..
Ma c'è $exp() -1$ a denominatore oppure $exp()$?
ma si, certo.. me lo sono dimenticato nella fretta..
Inizia ad osservare che
$\lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)-\sin(t)}{t^2} = -\frac{1}{2}$
(puoi calcolare il limite con gli sviluppi di Taylor o applicando due volte la regola di l'Hopital).
Quindi ti scrivi la tua funzione come:
$f(x,y) = \frac{\log(1+xy)-\sin(xy)}{(xy)^2}\cdot \frac{x^2+y^2}{e^{3(x^2+y^2)}-1}\cdot \frac{(xy)^2}{x^2+y^2}$.
Quando $(x,y)\to (0,0)$ la prima frazione tende a $-\frac{1}{2}$, la seconda a $\frac{1}{3}$, mentre per la terza ha
$ \frac{(xy)^2}{x^2+y^2} \le x^2$
(o se preferisci $\le |xy|$ oppure $\le y^2$, etc.).
In definitiva, il limite viene $0$.
$\lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)-\sin(t)}{t^2} = -\frac{1}{2}$
(puoi calcolare il limite con gli sviluppi di Taylor o applicando due volte la regola di l'Hopital).
Quindi ti scrivi la tua funzione come:
$f(x,y) = \frac{\log(1+xy)-\sin(xy)}{(xy)^2}\cdot \frac{x^2+y^2}{e^{3(x^2+y^2)}-1}\cdot \frac{(xy)^2}{x^2+y^2}$.
Quando $(x,y)\to (0,0)$ la prima frazione tende a $-\frac{1}{2}$, la seconda a $\frac{1}{3}$, mentre per la terza ha
$ \frac{(xy)^2}{x^2+y^2} \le x^2$
(o se preferisci $\le |xy|$ oppure $\le y^2$, etc.).
In definitiva, il limite viene $0$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo