Continuità di $f:RR^2->R$

[melli13]

Studiare la continuità in $(0,0)$ della seguente funzione:

$f(x,y)={((x^2y+(1+x)y^3)/(x+y), if x+y!=0),(0, if x+y=0):}$

$f(x,y)$ è continua in $(0,0)$ sse $lim_((x,y)->(0,0)) (x^2y+(1+x)y^3)/(x+y) =0$

Trasformo in coordinate polari ed ottengo che:
$lim_(rho->0) rho^2(cos^2(theta)sen(theta)+sen^3(theta)+rho*sen^3(theta)cos(theta))/(cos(theta)+sen(theta)) = 0$ se $theta !in {3/4 pi, 7/4 pi}$.

Ma ora mi chiedo: $theta$ può appartenere a qui valori? C'è qualcosa che non mi torna....
Mi aiutate per favore? Sono due giorni che mi sono bloccata con questo esercizio
Grazieeeee!!!

[poll89]

intanto semplifica un po' quel limite raccogliendo un $sen(\theta)$ ai primi due termini del numeratore. Viene quindi

$ lim_(rho->0) rho^2(sen(theta) (cos^2(theta)+sen^2(theta))+rho*sen^3(theta)cos(theta))/(cos(theta)+sen(theta)) = 0 $ che quindi ovviamente diventa

$ lim_(rho->0) rho^2(sen(theta)+rho*sen^3(theta)cos(theta))/(cos(theta)+sen(theta)) = 0 $

e quindi, tolti i valori di $\theta$ che annullano il denominatore, qualunque $\theta$ non cambierà il fatto che $\rho^2$ porta tutto il limite a 0. Quindi la funzione è continua ovunque eccetto che per quei valori di $\theta$, valori che comunque sono fuori dal dominio e di cui quindi non ci preoccupiamo troppo.

[melli13]

AH quindi non devo preoccuparmi perchè sono fuori dal dominio..grazie!! Era proprio questo il mio dubbio.
Posso farti un' altra domanda? Questo esercizio era il secondo punto di un altro, dove:

$\bar{f}(x,y)={((x^2y+(1+x)y^3)/(|x|^alpha+|y|^alpha), if (x,y)!=(0,0)),(0, if (x,y)=(0,0)):}$
Ma per quanto riguarda questa $\bar{f}(x,y)$ ho già detto che è continua in $(0,0)$ per $alpha<3$..quindi rientra anche il caso$alpha=1$! Certo, è definita un po' diversamente, ma nell'origine è sempre quella! Cosa mi cambia?
Grazie ancora

[dissonance]

@poll89: Sei sicuro di quanto dici sul primo esercizio? Secondo me ti stai sbagliando. Quella funzione non è continua in \((0,0)\): per esserlo, dovresti avere un controllo uniforme in \(\theta\) che invece non hai.

Più precisamente, supponi che ci sia continuità, ovvero, che per ogni epsilon eccetera eccetera. Prendi un intorno piccolo di \((0,0)\). Dalla continuità, in particolare, discende che la funzione dovrebbe essere limitata nell'intornino. Ma a me non sembra proprio che sia così. Quindi la funzione non è continua.

[dissonance]

Sui limiti in coordinate polari segnalo questa vecchia discussione che qualche volta è tornata utile in passato:

viewtopic.php?p=499363#p499363

[melli13]

@dissonance Grazie!! Ho letto quella più altre vecchie discussioni e mi sono chiarita le idee...Quindi la funzione non è continua! Invece $\bar{f}(x,y)$ è continua per $alpha=1$. La differenza la fa il fatto che una ha i moduli e l'altra no vero? Perchè il fatto che sono definite leggermente diversamente nn mi cambia, in quanto sto studiano la continuità in $(0,0)$

[dissonance]

Esatto, nella seconda funzione (per via dei valori assoluti) il denominatore si annulla solo nell'origine, dove però si annulla anche il numeratore. Se \(\alpha\) non è troppo grosso, la frazione non "esplode" e hai la continuità.

[melli13]

Grazie infinite @dissonance...questo dubbio mi assillava da un paio di giorni! Adesso mi è tutto chiaro