Continuità di $f^{-1}$

[Plepp]

Teorema. Sia $f:I\to RR$ continua, $I$ intervallo di $RR$, $f$ invertibile. Allora $f^{-1}$ è continua.

La dimostrazione del Professore mi ha lasciato perplesso in alcuni punti, quindi ho provato a rifarla da me.

Ho già dimostrato che nelle ipotesi del sopracitato Teorema ($f$ continua e biiettiva su un intervallo), $f$ è strettamente monotona. Suppongo dunque che $f$ (e di conseguenza anche $f^{-1}$) sia strettamente crescente (l'altro caso è analogo...).

Innanzitutto, per il Teorema dei valori intermedi, $J:=f(I)$ è anch'esso un intervallo. Prendo ora un punto $y_0\in J$ e dimostro che $f^{-1}$ è continua in $y_0$, ovvero che - posto $x_0:=f^{-1}(y_0)$ -
\[ \forall \varepsilon>0,\ \exists U\ \text{intorno di}\ y_0\ :\ \forall y\in U\cap J,\ x_0-\varepsilon < f^{-1} (y) < x_0 +\varepsilon \]
Distinguo ora due casi:

[*:33czevpt] $y_0\in J^\circ$ ($y_0$ interno a $J$...il comando Tex giusto non funziona...). In tal caso dimostro che si ha $x_0\in I^\circ$. Se $y_0$ è interno, infatti, ho che per un opportuno $\delta>0$, $(y_0-\delta) \in J$ e $(y_0+\delta)\in J$, e applicando $f^{-1}$ alle disuguaglianze
\[y_0-\delta ho (ricordando che $f^{-1}$ è strettamente crescente)
\[f^{-1}(y_0-\delta) Dalla precedente deduco che $x_0$ è interno ad $I$. Considero ora $epsilon>0$. Poichè $x_0$ sta nell'interno di $I$, può succedere che $epsilon$ sia "sufficientemente piccolo" per porre
\[U_{\varepsilon}:=\, ]f(x_0-\varepsilon), f(x_0+\varepsilon) [\, \subseteq J\]
Si ha che $U_\epsilon$ è un intorno di $y_0=f(x_0)$ (come si deduce ricordando che $f$ è monotona). Per ogni $y\in U_{\epsilon}$ si ha
\[f(x_0-\varepsilon) e applicando $f^{-1}$ alla precedente si conclude
\[x_0-\varepsilon che è la tesi. Se $\epsilon$ NON è sufficientemente piccolo, poiché $x_0\in I^\circ$ posso sempre trovare un $\epsilon_0>0$ ($epsilon_0 \[\forall y\in U_{\varepsilon_0},\ x_0-\varepsilon_0 e quindi anche
\[\forall y\in U_{\varepsilon_0},\ x_0-\varepsilon [*:33czevpt] Se $J$ è un aperto (nel qual caso $J=J^\circ$...) la dimostrazione è conclusa. Se invece, ad esempio, $J$ è chiuso a sinistra (i.e. $J= [a,b)$), mi rimane da controllare la continuità in $y_0=a$. Da
\[\forall y\in J,\ y\ge a\]
ho, applicando $f^{-1}$,
\[\forall y\in J,\ f^{-1}(y)\ge f(a)=:\alpha\in I\]
ovvero $\forall x\in I,\ x\ge \alpha$. Deduco in particolare $I=[\alpha, \beta)$. Pongo ora (rimanendo valide alcune considerazioni fatte prima su $\epsilon$...)
\[U_\varepsilon :=\, ]a-\varepsilon, f(\alpha+\varepsilon) [ \]
E' abbastanza evidente che $U_\epsilon$ è un intorno di $a$. Ho quindi che
\[\forall y\in U_\varepsilon\cap J,\quad y< f(\alpha+\varepsilon)\]
e applicando ancora una volta $f^{-1}$, ottengo
\[\forall y\in U_\varepsilon\cap J,\quad f^{-1}(y)<\alpha+\varepsilon\]
nonché, ovvio, $\alpha -\epsilon < f^{-1}(y)$.[/*:m:33czevpt][/list:u:33czevpt]

Qualcosa di troppo contorto e/o errato?

[Plepp]

Up

[Plepp]

Up$^2$.

(In effetti si poteva far di meglio, mi sono dilungato un bel po' )