Continuità di 1/x
Ciao ragazzi,
mi servirebbe un aiuto sul comprendere se una funzione f(x)=1/x sia continua o meno.
Mi spiego meglio: il mio libro prende la funzione come esempio per speigare la continuità, ma non è chiarissimo, infatti dice "la funzione in esame è continua nel suo dominio per il teorema del quoziente e per la risaputa continuità della funzione costante e identità" e fin qui ci sono, però poco dopo dice "per x=0 la funzione ha un punto di discontinuitàdi seconda specie".
Ora mi chiedo, ma se ha un punto di discontinuità allora non è continua, sbaglio? Non capisco!
mi servirebbe un aiuto sul comprendere se una funzione f(x)=1/x sia continua o meno.
Mi spiego meglio: il mio libro prende la funzione come esempio per speigare la continuità, ma non è chiarissimo, infatti dice "la funzione in esame è continua nel suo dominio per il teorema del quoziente e per la risaputa continuità della funzione costante e identità" e fin qui ci sono, però poco dopo dice "per x=0 la funzione ha un punto di discontinuitàdi seconda specie".
Ora mi chiedo, ma se ha un punto di discontinuità allora non è continua, sbaglio? Non capisco!
Risposte
Il dominio non contiene lo $0$, quindi non c'é nessuna contraddizione
"williami":
Ciao ragazzi,
mi servirebbe un aiuto sul comprendere se una funzione f(x)=1/x sia continua o meno.
Mi spiego meglio: il mio libro prende la funzione come esempio per speigare la continuità, ma non è chiarissimo, infatti dice "la funzione in esame è continua nel suo dominio per il teorema del quoziente e per la risaputa continuità della funzione costante e identità" e fin qui ci sono, però poco dopo dice "per x=0 la funzione ha un punto di discontinuitàdi seconda specie".
Ora mi chiedo, ma se ha un punto di discontinuità allora non è continua, sbaglio? Non capisco!
Che libro è?
In ogni caso è un dubbio lecito perché la classificazione dei punti di discontinuità ha sempre creato un po' di confusione su questo punto e non sei il primo che pone questa domanda.
Secondo me non ha senso affermare che una funzione è discontinua in un punto se non è manco definita in tal punto.
Molti libri affermano che un punto è un punto di discontinuità di seconda specie per la funzione $f$ se il limite destro e/o il limite sinistro della $f$ in tal punto non esiste o è infinito. Questa definizione, purtroppo, comprende anche il caso che dici tu.
Comunque, al di la di questo aspetto di pura nomenclatura, la funzione $f(x)=1/x$ è continua in tutto il suo dominio e NON è continua in $0$. (così si evita ogni problema di classificazione).
Si tratta purtroppo di un residuo ottocentesco quando ancora non era affermato il linguaggio unificante della teoria degli insiemi all'interno della quale noi inquadriamo oggi il concetto di funzione. Per qualche strano motivo e' rimasto e ancora oggi sulla maggioranza dei testi per i licei. Sarebbe piu' opportuno credo parlare di singolarita' in questi casi, in analogia con quanto si fa per l'analisi complessa.
Grazie a tutti per i chiarimenti utilissimi, mi piacerebbe rispondere in particolare
@mauri e @Ernesto: in realtà la contraddizione la vedo nel senso che se non appartiene al dominio "e come scrivi anche tu f(x)=1/x è continua in tutto il suo dominio" cosa vuol dire dire anche "NON è continua in 0"? Se non è nel dominio è continua, poi però affermo non continua in zero. A questo punto è continua o no?
Non so se mi sono spiegato
@mauri e @Ernesto: in realtà la contraddizione la vedo nel senso che se non appartiene al dominio "e come scrivi anche tu f(x)=1/x è continua in tutto il suo dominio" cosa vuol dire dire anche "NON è continua in 0"? Se non è nel dominio è continua, poi però affermo non continua in zero. A questo punto è continua o no?
Non so se mi sono spiegato
La funzione $f(x)=1/x$ nel punto $x_0=0$ non è né continua, né discontinua in quanto ivi non è definita e non ha senso parlare di continuità di una funzione in un punto esterno al suo dominio (dove appunto non è definita).
Come dice Luca Lussardi questa è l'accezione attuale ma nelle superiori si continua ad usare una definizione "vecchia".
Cordialmente, Alex
Come dice Luca Lussardi questa è l'accezione attuale ma nelle superiori si continua ad usare una definizione "vecchia".
Cordialmente, Alex
Grazie, in sostanza l'accezione comune in uso sarebbe "la funzione è continua nel suo dominio", e stop ad altre elucubrazioni?
grazie anche a te axpgn
grazie anche a te axpgn
E' continua e basta, una funzione si porta dietro il suo dominio.
Più precisamente, si studia la continuità di una funzione solamente per i punti appartenenti al suo dominio.
Nel caso in questione, la funzione $1/x$ è continua dovunque (nel suo dominio ma essendo implicito è inutile dirlo anzi dannoso perché potrebbe sottintendere che possa essere continua anche da qualche parte esternamente al dominio)
Nel caso in questione, la funzione $1/x$ è continua dovunque (nel suo dominio ma essendo implicito è inutile dirlo anzi dannoso perché potrebbe sottintendere che possa essere continua anche da qualche parte esternamente al dominio)
"williami":
Grazie, in sostanza l'accezione comune in uso sarebbe "la funzione è continua nel suo dominio", e stop ad altre elucubrazioni?
grazie anche a te axpgn
Si esatto. In questo caso la funzione è continua nel suo dominio, ossia $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, poiché quoziente della funzione costantemente 1 (al numeratore) e della funzione identità (al denominatore), che sono funzioni continue in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Basta, non c'è da dire altro.
Attento però che una funzione può essere discontinua nel suo dominio (ad esempio può avere un salto), come \( f(x)=\begin{cases}1\qquad x\geq 0 \\ -1\quad\ x<0 \end{cases} \) che è definita in tutto $\mathbb{R}$ ma discontinua in 0.
"mauri54":[/quote]
[quote="williami"]
Attento però che una funzione può essere discontinua nel suo dominio (ad esempio può avere un salto), come \( f(x)=\begin{cases}1\qquad x\geq 0 \\ -1\quad\ x<0 \end{cases} \) che è definita in tutto $\mathbb{R}$ ma discontinua in 0.
Certo certo, pensavo proprio a qualcosa del genere (discontinuità a salto) quando vedevo la differenza con 1/x che non aveva discontinuità nel dominio.
Grazie! Mi avete sollevato:)
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