Continuità derivate parziali

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Salve a tutti ragazzi
Ho una funzione di questo tipo:
$ f(x,y)={ ( (1-cos(xy))/(x^2+y^2) if (x,y)!=(0,0) ),( 0 if (x,y)=(0,0) ):} $
Devo verificarne la differenziabilità passo passo. Effettuando varie stime ottengo che è continua.
Ora spostandomi sulla derivabilità, questa funzione è derivabile parzialmente sia per x che per y, quando non sono nell'origine, mentre in tal punto:
considero prima $ xrarr f(x,0)$ e poi $ yrarr f(0,y) $
Calcolo i limiti come da def:
$ xrarr f(x,0)$ ho:
$ lim_(h ->0 ) (f(h,0)-f(0,0))/h=0 $
$ yrarr f(0,y) $ ho:
$ lim_(h ->0 ) (f(0,h)-f(0,0))/h=0 $
Quesito 1: Ora il fatto che entrambe le derivate parziali nel punto 0 abbiano valore 0, mi permette di affermare che esse sono continue nell'origine evitando così il loro calcolo e operare delle stime?
Quesito 2: Se la risposta alla precedente domanda fosse affermativa, se nel caso in cui il valore dei limiti fosse stato diverso, sarebbero comunque continue?

[Studente Anonimo]

"Matteo2598":
Effettuando varie stime ottengo che è continua.

Ti chiederei, per curiosità, di illustrare il procedimento. Ad ogni modo, immagino che tu abbia ricavato la seguente maggiorazione, valida in un opportuno intorno dell'origine:

$(1-cosxy)/(x^2+y^2) lt= (x^2y^2)/(x^2+y^2)$

"Matteo2598":
... il fatto che entrambe le derivate parziali ...

Purtroppo no.

[stositoobbligalamiaregistrazione]

Si ho effettuato quel tipo di maggiorazione (hai mancato di moltiplicare per 1/2 però dell'eq asintotica).
Grazie mille della risposta. Gentilissimo. Quindi devo verificare a mano sempre la continuità delle derivate?

[Studente Anonimo]

"Matteo2598":
... hai mancato di moltiplicare per 1/2 ...

Veramente, ho preferito procedere mediante un artificio:

$(1-cosxy)/(x^2+y^2)=((1-cosxy)(1+cosxy))/((x^2+y^2)(1+cosxy))=(1-cos^2xy)/((x^2+y^2)(1+cosxy))=(sin^2xy)/((x^2+y^2)(1+cosxy))$

$[sin^2xy lt= x^2y^2] ^^ [1/(1+cosxy) lt= 1] rarr [(sin^2xy)/((x^2+y^2)(1+cosxy)) lt= (x^2y^2)/(x^2+y^2)]$

piuttosto che servirmi della maggiorazione sottostante:

$1-cosxy lt= 1/2x^2y^2$

la cui giustificazione, rispetto alla giustificazione di questa:

$sinxy lt= xy$

(la lunghezza della corda è minore della lunghezza dell'arco) non è così immediata. Insomma, visto che può fare la differenza, ho preferito mettermi dalla parte dei bottoni. A questo punto, ti chiederei di giustificare rigorosamente la seguente maggiorazione:

$1-cosxy lt= 1/2x^2y^2$

"Matteo2598":
Quindi devo verificare a mano sempre la continuità delle derivate?

Certamente.

[stositoobbligalamiaregistrazione]

Innanzitutto grazie mille per l'interesse, gentilissimo. Allora per la stima:
Innanzitutto devo dimostrare che:
$ |1-cost|<=t^2/2$ $ AA tin R $
Se pongo $ g(t)=cost $ e scrivo la formula di Taylor al secondo ordine con resto di Lagrange:
$ g(t)=g(0)+g'(0)t+1/2g''(alpha )t^2 $ per un opportuno $ alpha in [0;t ] $ cioè:
$ cost=1-t^2/2cosalpha $
Poichè: $ g(0)=cos0=1 $ e $ g'(0)=-sin0=0 $ ed inoltre $ g''(alpha)=-cosalpha $ si ha in definitiva che:
$ |1-cost|<=t^2/2cosalpha<=t^2/2 $
ed infine: $ 0<=|f(x)-f(0)|=|1-cos(x_1x_2)|/(x_1^2+x_2^2)<=1/2(x_1^2x_2^2)/(x_1^2+x_2^2)<=1/2x_1^2/(x_1^2+x_2^")x_2^2<=1/2 x_2^2<=||x||^2/2 $ quest'ultima norma poi, va a 0, per i carabinieri ho continuità

[Studente Anonimo]

Non mi convince questo passaggio:

$[cost=1-t^2/2cos\alpha] rarr [|1-cost| lt= t^2/2cos\alpha lt= t^2/2]$

Probabilmente intendevi scrivere:

$[cost=1-t^2/2cos\alpha] rarr [1-cost = t^2/2cos\alpha] rarr [|1-cost| lt= t^2/2]$

Ad ogni modo, ho preferito procedere mediante l'artificio e la maggiorazione sottostante:

$sinxy lt= xy$

proprio per non scomodare la formula di Taylor. Vero è che, anche se non dirimente, la tua maggiorazione:

$(1-cosxy)/(x^2+y^2) lt= 1/2(x^2y^2)/(x^2+y^2)$

è più stringente della mia:

$(1-cosxy)/(x^2+y^2) lt= (x^2y^2)/(x^2+y^2)$

Insomma, ben fatto.

[stositoobbligalamiaregistrazione]

Grazie mille!