Continuità derivate parziali

[alevise1992]

Ciao ragazzi

come da titolo volevo chiedervi un chiarimento riguardo le derivate parziali:

supponiamo io voglia calcolare la derivata parziale rispetto la direzione dell'asse x. Per dire che è continua in un punto bisogna calcolare il limite del rapporto incrementale sia a destra che a sinistra del punto e verificare che coincidano i valori? L'aver verificato questa cosa mi porta anche a dire che effettivamente esistono nel punto?

Vi ringrazio

[donald_zeka]

No, fare il limite del rapporto incrementale in un punto significa verificare se esiste o no la derivata parziale. Per dire che è continua bisogna considerare la "funzione derivata parziale" e verificare che questa funzione è continua in quel punto.

[alevise1992]

Ma se io calcolo il limite del rapporto incrementale della mia funzione, prima un attimo più a destra del punto e poi un attimo più a sinistra (per attimo intendo infinitesimo ) e trovo lo stesso valore, questo non significa che la mia derivata sarà continua nel punto? Se non fosse continua, dovrei trovare valori diversi o divergenti.. o sto prendendo una cantonata?

[donald_zeka]

Stai prendendo una cantonata. Il limite del rapporto incrementale in un punto è la definizione di derivata in quel punto, e pertanto, essendo la derivata nient'altro che un limite, la derivata in un punto esiste solo se i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale esistono e coincidono. Ma appunto questa è la definizione di esistenza della derivata, non della sua continuità. La continuità è un concetto che si applica alle funzioni, cioè data la funzione f(x), la sua funzione derivata è f'(x), supponiamo che esiste il limite del rapporto incrementale in $x_0$, allora la funzione è derivabile in $x_0$, per vedere se è derivabile con continuità bisogna vedere se esiste il limite $lim_(x->x_0) f'(x)$ e se questo limite coincide con quello trovato col rapporto incrementale.