Continuità derivata parziale: un dilemma!
Vorrei capire dove sbaglio...
so che la funzione $f(x,y)=abs(x^2 +y^2 −xy)$ è differenziabile in $(0,0)$ e
vorrei dimostrare che le relative derivate parziali sono continue nel punto $(0,0)$ secondo questa mia riflessione:
se non capisco male il teorema del differenziale dice che una funzione è differenziabile se le sue derivate parziali esistono e sono continue, quindi se percorro all'indietro il percorso potrei dire che se una funzione è diff. ha le derivate parziali continue.
Giusto?
L'esistenza l'ho già provata ad con il limite del rapporto incrementale:
ad es. $f_x(0,0)=\lim_{h \to 0}(f(0+h,0)-f(0,0))/h=\lim_{h \to 0}(h^2+0-h0-0)/h=h=0$
Anche per $f_y$ ottengo lo stesso valore per cui le derivate parziali esistono.
Se calcolo la derivata parziale $f_x$ ottengo $abs(x^2 +y^2 −xy)/(x^2 +y^2 −xy)*(2x-y)$ e mi verrebbe da dire che non è definita in $(0,0,)$ in quanto il denominatore sarebbe zero. Quindi direi che la non c'e' continuità in quel punto della derivata parziale.
Sbaglio qualcosa?
so che la funzione $f(x,y)=abs(x^2 +y^2 −xy)$ è differenziabile in $(0,0)$ e
vorrei dimostrare che le relative derivate parziali sono continue nel punto $(0,0)$ secondo questa mia riflessione:
se non capisco male il teorema del differenziale dice che una funzione è differenziabile se le sue derivate parziali esistono e sono continue, quindi se percorro all'indietro il percorso potrei dire che se una funzione è diff. ha le derivate parziali continue.
Giusto?
L'esistenza l'ho già provata ad con il limite del rapporto incrementale:
ad es. $f_x(0,0)=\lim_{h \to 0}(f(0+h,0)-f(0,0))/h=\lim_{h \to 0}(h^2+0-h0-0)/h=h=0$
Anche per $f_y$ ottengo lo stesso valore per cui le derivate parziali esistono.
Se calcolo la derivata parziale $f_x$ ottengo $abs(x^2 +y^2 −xy)/(x^2 +y^2 −xy)*(2x-y)$ e mi verrebbe da dire che non è definita in $(0,0,)$ in quanto il denominatore sarebbe zero. Quindi direi che la non c'e' continuità in quel punto della derivata parziale.
Sbaglio qualcosa?
Risposte
[size=130]$partial_xf(x,y)=sign(x^2+y^2-xy)*(2x-y),forall(x,y)inRR^2setminus{(0,0)}$[/size]
Io direi che ammette un’estensione continua in $(0,0)$ tu che ne pensi?
La derivata parziale è del tipo $partial_xf(x,y)=g(x,y)*h(x,y)$ dove $g$ è limitata e $h$ infinitesima in $0$
Io direi che ammette un’estensione continua in $(0,0)$ tu che ne pensi?
La derivata parziale è del tipo $partial_xf(x,y)=g(x,y)*h(x,y)$ dove $g$ è limitata e $h$ infinitesima in $0$
"zio_mangrovia":
Vorrei capire dove sbaglio...
...
se non capisco male il teorema del differenziale dice che una funzione è differenziabile se le sue derivate parziali esistono e sono continue, quindi se percorro all'indietro il percorso potrei dire che se una funzione è diff. ha le derivate parziali continue.
Giusto?
...
Sbaglio qualcosa?
Sì, sbagli qualcosina
Se $a=>b$, non è detto che $b=>a$
Meglio che chiudi un momento i libri e ti rilassi un po', evidentemente sei troppo sotto stress
"Fioravante Patrone":[/quote]
[quote="zio_mangrovia"]
Sì, sbagli qualcosina
Se $a=>b$, non è detto che $b=>a$
Ho capito, ho frainteso!
Se una funzione è differenziabile non è detto che le derivate parziali siano continue nello stesso punto, ma è vero il contrario perchè ce lo insegna il teorema del differenziale totale. Corretto?
Certo, è corretto.
Però è molto grave il tuo "fraintendimento". O ci sono dietro delle lacune spaventose, oppure ti manca momentaneamente la lucidità necessaria per studiare in modo proficuo
Però è molto grave il tuo "fraintendimento". O ci sono dietro delle lacune spaventose, oppure ti manca momentaneamente la lucidità necessaria per studiare in modo proficuo
"Fioravante Patrone":
Certo, è corretto.
Però è molto grave il tuo "fraintendimento". O ci sono dietro delle lacune spaventose, oppure ti manca momentaneamente la lucidità necessaria per studiare in modo proficuo
La seconda! Sto tirando come un treno perchè devo tentare un esame la prossima settimana ma mi assumo tutti i rischi del caso
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