Continuità, Derivabilità, Periodicità, Monotona ecc..
Ciao a tutti, ho bisogno di un favore !
Mi potreste spiegare sul come faccio a dire
se una funzione è :
1. Monotona
2. Continua
3. Derivabile
4. Periodica
5. Crescente / Non crescente / Decrescente / Non Decrescente
6. Pari / Dispari
per esempio una funzione del tipo y = 7|x| + sin(7x).
Grazie mille per l' aiuto !!!
Leo
Mi potreste spiegare sul come faccio a dire
se una funzione è :
1. Monotona
2. Continua
3. Derivabile
4. Periodica
5. Crescente / Non crescente / Decrescente / Non Decrescente
6. Pari / Dispari
per esempio una funzione del tipo y = 7|x| + sin(7x).
Grazie mille per l' aiuto !!!
Leo
Risposte
Allora...
1) per sapere se è monotona puoi usare semplicemente il principio di induzione
2) per sapere se è continua dovresti specificare per quali punti ricerchi la continuità. Se per esempio vuoi sapere se una f(x) è continua in x=0, ti è sufficiente calcolare il campo d'esistenza e verificare se in quel punto esiste.
3) per sapere se è derivabile, basta che calcoli la derivata e verifichi il dominio della derivata
4) ...non ricordo bene...
5) per sapere se è crescente etc. devi studiare il segno della derivata prima
6) una funzione pari è tale che $f(x) = f(-x)$, invece una funzione dispari è tale che $f(-x) = -f(x)$... Ti basta applicare queste due condizioni
1) per sapere se è monotona puoi usare semplicemente il principio di induzione
2) per sapere se è continua dovresti specificare per quali punti ricerchi la continuità. Se per esempio vuoi sapere se una f(x) è continua in x=0, ti è sufficiente calcolare il campo d'esistenza e verificare se in quel punto esiste.
3) per sapere se è derivabile, basta che calcoli la derivata e verifichi il dominio della derivata
4) ...non ricordo bene...
5) per sapere se è crescente etc. devi studiare il segno della derivata prima
6) una funzione pari è tale che $f(x) = f(-x)$, invece una funzione dispari è tale che $f(-x) = -f(x)$... Ti basta applicare queste due condizioni
1) studia la derivata prima se la funzione e' derivabile, altrimenti trova metodi alternativi
ESEMPIO
la tua funzione non e' derivabile in 0
derivata destra: 14 [7+7*cos(0)]
derivata sinistra: 0 [-7+7*cos(0)]
metodo 1 (il piu' semplice)
studia il segno della derivata dove esiste, se il segno non e' costante f non e' monotona
METODO 2
Se sei in grado di capire ad occhio che la f non e' monotona (come nel tuo esempio), per dimostrarlo ti basta scegliere tre valori opportuni
f(-PI/7) = PI
f(0) = 0 (quindi la f e diminuita)
f(PI/7) = PI (quindi la f e' aumentata)
allora f non e' monotona!
4) f e' periodica se e' composizione di funxioni periodiche
ESEMPIO
la tua funzione non e' derivabile in 0
derivata destra: 14 [7+7*cos(0)]
derivata sinistra: 0 [-7+7*cos(0)]
metodo 1 (il piu' semplice)
studia il segno della derivata dove esiste, se il segno non e' costante f non e' monotona
METODO 2
Se sei in grado di capire ad occhio che la f non e' monotona (come nel tuo esempio), per dimostrarlo ti basta scegliere tre valori opportuni
f(-PI/7) = PI
f(0) = 0 (quindi la f e diminuita)
f(PI/7) = PI (quindi la f e' aumentata)
allora f non e' monotona!
4) f e' periodica se e' composizione di funxioni periodiche
Per quanto riguarda la periodicità...una funzione $y=f(x)$ si dice periodica di periodo T quando, per ogni intero relativo k, vale la relazione:
$f(x)=f(x+kT)$
Ad esempio le funzioni seno e coseno sono periodiche con $T=2pi$, infatti il valore della funzione si ripete ad ogni giro della circonferenza goniometrica.
$f(x)=f(x+kT)$
Ad esempio le funzioni seno e coseno sono periodiche con $T=2pi$, infatti il valore della funzione si ripete ad ogni giro della circonferenza goniometrica.
2) per sapere se è continua dovresti specificare per quali punti ricerchi la continuità. Se per esempio vuoi sapere se una f(x) è continua in x=0, ti è sufficiente calcolare il campo d'esistenza e verificare se in quel punto esiste.
Non basta che una funzione sia definita in un punto per garantire che sia anche continua in quel punto.
Bisogna al contrario studiare il limite destro della funzione in quel punto (che chiamo x0) e il limite sinistro ed entrambi i limiti devono venire proprio f(x0) ossia il valore che la funzione assume in quel preciso punto x0.
5. Crescente / Non crescente / Decrescente / Non Decrescente
Una funzione si dice monotona se crescente o decrescente, strettamente monotona se strettamente crescente o strettamente decrescente. Quindi punto 1 e 5 sono uguali.
Per verificarlo ti calcoli la derivata prima e ne studi il segno; se la derivata prima è maggiore di 0 la funzione è strettamente crescente, se minore di 0 la funzione è strettamente decrescente.
Studi di questo tipo servono a capire se una funzione è invertibile o meno.
Ciao
Enea
"Enea":
Non basta che una funzione sia definita in un punto per garantire che sia anche continua in quel punto.
Bisogna al contrario studiare il limite destro della funzione in quel punto (che chiamo x0) e il limite sinistro ed entrambi i limiti devono venire proprio f(x0) ossia il valore che la funzione assume in quel preciso punto x0.
Ciao
Enea
è come dici tu, infatti sinteticamente $f(x)$ è continua nel punto $c$ se e solo se lim_(x rightarrow c) f(x)=f(c), sia che si faccia tendere $x$ da destra sia da sinistra.
Ciao!
Emh...scusate, ma non c'ho capito molto...
Allora io ho un esercizio che mi chiede :
F definita da F(x) = 7x|x| + sin(x)
Quali delle seguenti proprietà ha la funzione F in tutto R ?
A. derivabile
B. periodica
C. pari
D. dispari
E. continua
F. limitata
Ecco...io non riesco a trovare un metodo semplice per arrivare alla soluzione di ogni risposta.
Tra tutti è l' unico esercizio che mi frega!
Ci sono formule per capire se è periodica o continua o derivabile??
Grazie mille per l' aiuto!!
Leo
Allora io ho un esercizio che mi chiede :
F definita da F(x) = 7x|x| + sin(x)
Quali delle seguenti proprietà ha la funzione F in tutto R ?
A. derivabile
B. periodica
C. pari
D. dispari
E. continua
F. limitata
Ecco...io non riesco a trovare un metodo semplice per arrivare alla soluzione di ogni risposta.
Tra tutti è l' unico esercizio che mi frega!
Ci sono formule per capire se è periodica o continua o derivabile??
Grazie mille per l' aiuto!!
Leo
Di solito il valora assoluto presenta punti angolosi ogni qual volta la funzione che sta al suo interno cambia di segno, in questo caso però non succede perchè il valore assoluto della funzione che sarebbe $x$ in questo caso è moltiplicata proprio da $x$. in modo più rigoroso potresti calcolarti la derivata della funzione e notare che da destra e da sinistra la derivata risulta uguale:
$d/{dx}7x|x|+sinx={(14x+cosx, \text{se}x\ge0),(-14x+cosx,\text{se}x<0):}$ che in effetti corrisponde proprio alla scrittura: $14|x|+cosx$.
Da qui si nota che al cambiare del segno di $f(x)=x$ non si registra un cambio di segno della derivata, in quanto, come si vede, la derivata è sicuramente pari, infatti è somma di due funzioni pari (valore assoluto e coseno). per questo motivo anche in 0 si ha derivabilità, quindi si ha a maggior ragione su tutto $RR$.
Come ho già detto la funzione è dispari, perchè la derivata risulta pari. questa infatti è una proprietà che è sempre vera, infatti per es: $d/{dx}x^2\text{funzione pari}=2x\text{funzione dispari}$.
Non è sicuramente periodica, in quanto somma di funzioni periodiche con funzioni non periodiche dà come risultato funzioni non periodiche. Poi puoi verificare anche dalla definizione di periodicità che quest'ultima non è verificata.
Invece la funzione è continua in tutti i punti appartenenti all'insieme $RR$, infatti si tratta di composizioni di funzioni elementari, che hanno proprio la caratteristica di esser continua su tutto $RR$. puoi quindi verificare che è sempre verificato $\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$.
Infine la funzione non è limitata in quanto non esistono maggioranti o minoranti, o meglio l'estermo superiore ed inferiore della funzione sono rispettivamente $\pminfty$; ciò si deduce dal fatto che: $\lim_{x\to\pm\infty}7x|x|+sinx=\pm\infty$
$d/{dx}7x|x|+sinx={(14x+cosx, \text{se}x\ge0),(-14x+cosx,\text{se}x<0):}$ che in effetti corrisponde proprio alla scrittura: $14|x|+cosx$.
Da qui si nota che al cambiare del segno di $f(x)=x$ non si registra un cambio di segno della derivata, in quanto, come si vede, la derivata è sicuramente pari, infatti è somma di due funzioni pari (valore assoluto e coseno). per questo motivo anche in 0 si ha derivabilità, quindi si ha a maggior ragione su tutto $RR$.
Come ho già detto la funzione è dispari, perchè la derivata risulta pari. questa infatti è una proprietà che è sempre vera, infatti per es: $d/{dx}x^2\text{funzione pari}=2x\text{funzione dispari}$.
Non è sicuramente periodica, in quanto somma di funzioni periodiche con funzioni non periodiche dà come risultato funzioni non periodiche. Poi puoi verificare anche dalla definizione di periodicità che quest'ultima non è verificata.
Invece la funzione è continua in tutti i punti appartenenti all'insieme $RR$, infatti si tratta di composizioni di funzioni elementari, che hanno proprio la caratteristica di esser continua su tutto $RR$. puoi quindi verificare che è sempre verificato $\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$.
Infine la funzione non è limitata in quanto non esistono maggioranti o minoranti, o meglio l'estermo superiore ed inferiore della funzione sono rispettivamente $\pminfty$; ciò si deduce dal fatto che: $\lim_{x\to\pm\infty}7x|x|+sinx=\pm\infty$
A) SI la derivata è: 14|x| +cosx e vale 1 per $ x= 0$
B) NO , perchè $sin x$ è periodica ma $ 7x|x| $ non lo è
C) NO , perchè entrambe le funzioni da cui è composta F(x ) sono dispari
D) SI , vedi punto C )
E) Si , entrambe le funzioni sono continue e anche la loro somma lo è .
F)NO , perchè $ sin x $ lo è , ma $7x | x |$ non lo è .
Camillo
P.S. @ cavallipurosangue : al primo giro hai quasi 4 minuti di vantaggio !!
B) NO , perchè $sin x$ è periodica ma $ 7x|x| $ non lo è
C) NO , perchè entrambe le funzioni da cui è composta F(x ) sono dispari
D) SI , vedi punto C )
E) Si , entrambe le funzioni sono continue e anche la loro somma lo è .
F)NO , perchè $ sin x $ lo è , ma $7x | x |$ non lo è .
Camillo
P.S. @ cavallipurosangue : al primo giro hai quasi 4 minuti di vantaggio !!
scusa camillo, ma 7x|x| non è limitata?? c'è il valore assoluto no ?
E poi, come si fa a dire se una funzione è continua, non riesco a capire !!
Tra l'altro mi vengono tutti simboli strani...,forse è per quello che non capisco.
grazie !
E poi, come si fa a dire se una funzione è continua, non riesco a capire !!
Tra l'altro mi vengono tutti simboli strani...,forse è per quello che non capisco.
grazie !
Ecco lo sapevo, non guardate assolutamente la pagina dove ci sono tutte le info riguardanti il forum...
Abbiamo un programma che visualizza le formule matematiche. Ti consiglio di scaricarlo al più presto e di cominciare ad usarlo, perchè ormai tutti lo utilizziamo.
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6289
Abbiamo un programma che visualizza le formule matematiche. Ti consiglio di scaricarlo al più presto e di cominciare ad usarlo, perchè ormai tutti lo utilizziamo.
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6289
Valerio, forse è il caso di mettere jsMath... Così
tutti potrebbero vedere subito le formule,
senza installare nulla... L'unico problema
è che sarebbe un po' meno intuitivo del MathML.
tutti potrebbero vedere subito le formule,
senza installare nulla... L'unico problema
è che sarebbe un po' meno intuitivo del MathML.
Guarda... Con me sfondi una porta aperta...
praticamente io lo installo e poi ?
E poi vedi tutto bene.
ok ce l'ho fatta !!! grazie !!! però la mia domanda è... 7x|x| non è limitata? è sempre positiva o no ?
@leo203
Cavallipurosangue ha già fatto il grafico e quindi c'è poco da aggiungere ; comunque la funzione è : $7 x | x| $ e x appare sia sotto il segno di modulo che senza .
Mentre $ | x | $ è sempre $ >=0 $ , non è così per x e quindi la funzione sarà positiva per $ x > 0 $ e negativa per $ x < 0 $.
La funzione non è limitata perchè $lim_(x rarr +00) f(x) = +00$ e $lim_ ( x rarr -00 ) f(x) = -00 $; non c'è nessuna relazione tra presenza del modulo e limitatezza della funzione : non ho capito il tuo commento.
La funzione $ y = | x | $ è sempre $ >= 0 $ per la presenza del modulo ma non è limitata superiormente , inferiormente lo è invece e l'estremo inferiore = minimo vale 0 .
Camillo
Cavallipurosangue ha già fatto il grafico e quindi c'è poco da aggiungere ; comunque la funzione è : $7 x | x| $ e x appare sia sotto il segno di modulo che senza .
Mentre $ | x | $ è sempre $ >=0 $ , non è così per x e quindi la funzione sarà positiva per $ x > 0 $ e negativa per $ x < 0 $.
La funzione non è limitata perchè $lim_(x rarr +00) f(x) = +00$ e $lim_ ( x rarr -00 ) f(x) = -00 $; non c'è nessuna relazione tra presenza del modulo e limitatezza della funzione : non ho capito il tuo commento.
La funzione $ y = | x | $ è sempre $ >= 0 $ per la presenza del modulo ma non è limitata superiormente , inferiormente lo è invece e l'estremo inferiore = minimo vale 0 .
Camillo
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