Continuità, derivabilità, massimi e minimi
Buongiorno a tutti, ho qualche problema con questo esercizio:
Sia data la funzione $f(x) = \{(alpha + beta x^2, x in [-sqrt(3/4),sqrt(3/4)]),((3-4x^2)/(1+x^2), x in (-infty, -sqrt(3/4)) U (sqrt(3/4), +infty)):}$
dove $alpha, beta$ sono parametri reali. Si dica, giustificando le risposte, per quali valori di $alpha, beta$ la funzione f:
(a) risulta continua e derivabile sull’intero dominio;
(b) possiede due distinti punti di massimo assoluto;
(c) possiede un unico punto di massimo assoluto;
(d) risulta continua e possiede un unico punto di minimo assoluto.
Soluzione
(a)
f è sicuramente continua e derivabile in $RRsetminus{-sqrt(3/4),sqrt(3/4)}$
Impongo continuità in $x=-sqrt(3/4)$
$lim_(x rightarrow -sqrt(3/4)^-)f(x)=lim_(x rightarrow -sqrt(3/4)^-)((3-4x^2)/(1+x^2))=0$
$lim_(x rightarrow -sqrt(3/4)^+)f(x)=lim_(x rightarrow -sqrt(3/4)^+)(alpha + beta x^2)=alpha+3/4beta$
$f(-sqrt(3/4))=alpha+3/4beta$
Quindi f è continua in $x=-sqrt(3/4) Leftrightarrow alpha+3/4beta=0$
Vale lo stesso per il punto $x=sqrt(3/4)$ essendo f pari.
Calcolo $f'$
$f'(x)=\{(2beta x, x in (-sqrt(3/4),sqrt(3/4))),((-14x)/(1+x^2)^2, x in (-infty, -sqrt(3/4)) U (sqrt(3/4), +infty)):}$
Ho escluso $-sqrt(3/4$ e $sqrt(3/4)$ da $Domf'$ perchè per ora so solo che f è continua in tali punti.
Impongo derivabilità in $-sqrt(3/4)$ e in $sqrt(3/4)$: essendo f continua in tali punti e derivabile in $Domfsetminus{-sqrt(3/4),sqrt(3/4)}$ controllo se esiste finito $lim_(x rightarrow +-sqrt(3/4))f'(x)$
$lim_(x rightarrow -sqrt(3/4)^-)f'(x)=lim_(x rightarrow -sqrt(3/4)^-)((-14x)/(1+x^2)^2)=16sqrt(3)/7$
$lim_(x rightarrow -sqrt(3/4)^+)f'(x)lim_(x rightarrow -sqrt(3/4)^+)(2beta x)=-sqrt(3)beta$
Quindi f è derivabile in $x=-sqrt(3/4) Leftrightarrow beta=-16/7$ e quindi tenendo conto che f è anche ovviamente continua, ovvero vale $alpha+3/4beta=0$ ottengo $alpha=12/7$. Lo stesso per il punto $x=sqrt(3/4)$
(b) e (c)
So che se $x=x_0$ è un punto di massimo allora la derivata prima si annulla in tale punto, inoltre f cresce per $xx_0$. Quindi provo a studiare il segno di $f'(x)$ per vedere se ricavo qualche info utile.
$2betax>0 Leftrightarrow beta>0$ e $0
Quindi
se $beta>0$ f cresce in $(-infty, -sqrt(3/4)]U[0,sqrt(3/4)]$ quindi $x=+-sqrt(3/4)$ sono i due punti di massimo.
se $beta<0$ f cresce in $(-infty, 0]$ quindi $x=0$ è l'unico punto di massimo.
Ma questo vale $forall alpha$? Perchè direi che $alpha$ non influenzi la monotonia di f ma la quota sulle ordinate del vertice della parabola $alpha + beta x^2$ però questo mi condiziona l'esistenza dei punti di massimo. Tuttavia la continuità in tali punti non è richiesta. Cosa mi sfugge o dove ho sbagliato?
Sia data la funzione $f(x) = \{(alpha + beta x^2, x in [-sqrt(3/4),sqrt(3/4)]),((3-4x^2)/(1+x^2), x in (-infty, -sqrt(3/4)) U (sqrt(3/4), +infty)):}$
dove $alpha, beta$ sono parametri reali. Si dica, giustificando le risposte, per quali valori di $alpha, beta$ la funzione f:
(a) risulta continua e derivabile sull’intero dominio;
(b) possiede due distinti punti di massimo assoluto;
(c) possiede un unico punto di massimo assoluto;
(d) risulta continua e possiede un unico punto di minimo assoluto.
Soluzione
(a)
f è sicuramente continua e derivabile in $RRsetminus{-sqrt(3/4),sqrt(3/4)}$
Impongo continuità in $x=-sqrt(3/4)$
$lim_(x rightarrow -sqrt(3/4)^-)f(x)=lim_(x rightarrow -sqrt(3/4)^-)((3-4x^2)/(1+x^2))=0$
$lim_(x rightarrow -sqrt(3/4)^+)f(x)=lim_(x rightarrow -sqrt(3/4)^+)(alpha + beta x^2)=alpha+3/4beta$
$f(-sqrt(3/4))=alpha+3/4beta$
Quindi f è continua in $x=-sqrt(3/4) Leftrightarrow alpha+3/4beta=0$
Vale lo stesso per il punto $x=sqrt(3/4)$ essendo f pari.
Calcolo $f'$
$f'(x)=\{(2beta x, x in (-sqrt(3/4),sqrt(3/4))),((-14x)/(1+x^2)^2, x in (-infty, -sqrt(3/4)) U (sqrt(3/4), +infty)):}$
Ho escluso $-sqrt(3/4$ e $sqrt(3/4)$ da $Domf'$ perchè per ora so solo che f è continua in tali punti.
Impongo derivabilità in $-sqrt(3/4)$ e in $sqrt(3/4)$: essendo f continua in tali punti e derivabile in $Domfsetminus{-sqrt(3/4),sqrt(3/4)}$ controllo se esiste finito $lim_(x rightarrow +-sqrt(3/4))f'(x)$
$lim_(x rightarrow -sqrt(3/4)^-)f'(x)=lim_(x rightarrow -sqrt(3/4)^-)((-14x)/(1+x^2)^2)=16sqrt(3)/7$
$lim_(x rightarrow -sqrt(3/4)^+)f'(x)lim_(x rightarrow -sqrt(3/4)^+)(2beta x)=-sqrt(3)beta$
Quindi f è derivabile in $x=-sqrt(3/4) Leftrightarrow beta=-16/7$ e quindi tenendo conto che f è anche ovviamente continua, ovvero vale $alpha+3/4beta=0$ ottengo $alpha=12/7$. Lo stesso per il punto $x=sqrt(3/4)$
(b) e (c)
So che se $x=x_0$ è un punto di massimo allora la derivata prima si annulla in tale punto, inoltre f cresce per $x
$2betax>0 Leftrightarrow beta>0$ e $0
Quindi
se $beta>0$ f cresce in $(-infty, -sqrt(3/4)]U[0,sqrt(3/4)]$ quindi $x=+-sqrt(3/4)$ sono i due punti di massimo.
se $beta<0$ f cresce in $(-infty, 0]$ quindi $x=0$ è l'unico punto di massimo.
Ma questo vale $forall alpha$? Perchè direi che $alpha$ non influenzi la monotonia di f ma la quota sulle ordinate del vertice della parabola $alpha + beta x^2$ però questo mi condiziona l'esistenza dei punti di massimo. Tuttavia la continuità in tali punti non è richiesta. Cosa mi sfugge o dove ho sbagliato?
Risposte
Forse, provando a disegnare graficamente f, ho capito.
Per esempio per la richiesta (b):
$beta>0$
$x=-sqrt(3/4)$ è punto di massimo se $f(-sqrt(3/4))>=f(x), forall x$ ma questo, essendo f crescente in $(-infty, -sqrt(3/4)]$ equivale a dire che $f(-sqrt(3/4))$ è maggiore o uguale al valore a cui tende la funzione quando x tende a $-(sqrt(3/4))$ da sinistra, ovvero devo imporre
$f(-sqrt(3/4))>=lim_(x rightarrow-sqrt(3/4)^-)(3-4x)/(1+x^2)$
$Leftrightarrow$
$alpha+3/4beta>=0$ vale lo stesso simmetricamente per $x=sqrt(3/4)$
Per la richiesta (c) invece:
$beta<0$
Imponendo la stessa condizione
$f(0)>=0 Leftrightarrow alpha>=0$
Infine per la richiesta (d):
Impongo la continuità $alpha+3/4beta=0$
Dallo studio del segno di f' ho ottenuto che per $beta>0$ ho $x=0$ unico punto di minimo, che per essere assoluto deve essere sempre minore o uguale di f(x), e essendo f crescente per $x in (-infty, sqrt(3/4)]$ decrescente per $x in [sqrt(3/4), +infty)$ f assume valori negativi per $x rightarrow +- infty$, pertanto impongo
$f(0)<=lim_(x rightarrow +-infty)(3-4x)/(1+x^2)$
$Leftrightarrow$
$alpha<=-4$
E' corretto? Qualche consiglio?
Per esempio per la richiesta (b):
$beta>0$
$x=-sqrt(3/4)$ è punto di massimo se $f(-sqrt(3/4))>=f(x), forall x$ ma questo, essendo f crescente in $(-infty, -sqrt(3/4)]$ equivale a dire che $f(-sqrt(3/4))$ è maggiore o uguale al valore a cui tende la funzione quando x tende a $-(sqrt(3/4))$ da sinistra, ovvero devo imporre
$f(-sqrt(3/4))>=lim_(x rightarrow-sqrt(3/4)^-)(3-4x)/(1+x^2)$
$Leftrightarrow$
$alpha+3/4beta>=0$ vale lo stesso simmetricamente per $x=sqrt(3/4)$
Per la richiesta (c) invece:
$beta<0$
Imponendo la stessa condizione
$f(0)>=0 Leftrightarrow alpha>=0$
Infine per la richiesta (d):
Impongo la continuità $alpha+3/4beta=0$
Dallo studio del segno di f' ho ottenuto che per $beta>0$ ho $x=0$ unico punto di minimo, che per essere assoluto deve essere sempre minore o uguale di f(x), e essendo f crescente per $x in (-infty, sqrt(3/4)]$ decrescente per $x in [sqrt(3/4), +infty)$ f assume valori negativi per $x rightarrow +- infty$, pertanto impongo
$f(0)<=lim_(x rightarrow +-infty)(3-4x)/(1+x^2)$
$Leftrightarrow$
$alpha<=-4$
E' corretto? Qualche consiglio?
Mamma mia quanti conti.
La parte di funzione senza parametri non ha massimi o minimi nel suo dominio.
La funzione con i parametri è una parabola, quindi:
b) mai
c) quando $beta<0$
d) In $alpha=-3/4beta$ sostituisco per esempio $beta=-4$ quindi $alpha=3$
La parte di funzione senza parametri non ha massimi o minimi nel suo dominio.
La funzione con i parametri è una parabola, quindi:
b) mai
c) quando $beta<0$
d) In $alpha=-3/4beta$ sostituisco per esempio $beta=-4$ quindi $alpha=3$
Grazie per la risposta.
(b) Perchè mai? Mi pare di aver mostrato che per ${(beta>0),(alpha+3/4beta>=0):}$ i punti di massimo assoluto sono $x=+-sqrt(3/4)$ infatti anche se è una parabola, la funzione con parametri, nelle condizioni suddette possiede due punti di massimo assoluto.
(c) $forall alpha$ quindi? Ma se ${(beta<0),(alpha<0):}$ ci sono dei valori della funzione senza parametri maggiori di quelli della parabola, quindi $x=0$ non è punto di massimo, lo è solo per ${(beta<0),(alpha>=0):}$
(d) Io ho trovato che vale per ${(beta>0),(alpha+3/4beta=0),(alpha<=-4):}$, tu consideri per esempio un $beta$ negativo ma in tal caso il minimo non c'è o non è unico
(b) Perchè mai? Mi pare di aver mostrato che per ${(beta>0),(alpha+3/4beta>=0):}$ i punti di massimo assoluto sono $x=+-sqrt(3/4)$ infatti anche se è una parabola, la funzione con parametri, nelle condizioni suddette possiede due punti di massimo assoluto.
(c) $forall alpha$ quindi? Ma se ${(beta<0),(alpha<0):}$ ci sono dei valori della funzione senza parametri maggiori di quelli della parabola, quindi $x=0$ non è punto di massimo, lo è solo per ${(beta<0),(alpha>=0):}$
(d) Io ho trovato che vale per ${(beta>0),(alpha+3/4beta=0),(alpha<=-4):}$, tu consideri per esempio un $beta$ negativo ma in tal caso il minimo non c'è o non è unico
"Frink88":
Grazie per la risposta.
(b) Perchè mai? Mi pare di aver mostrato che per ${(beta>0),(alpha+3/4beta>=0):}$
Uh, hai ragione. Non avevo visualizzato che il resto andava monotonicamente verso $y=-4$.
Quindi se ci cuciamo dentro una parabola con concavità positiva, avremo due massimi.
"Frink88":
(c) $forall alpha$ quindi?
No. $alpha$ è univocamente definito dalla relazione di continuità che hai trovato. Si fissa un $beta<0$ e si deriva il corrispettivo $alpha$. Ma $beta$ deve essere negativo!
"Frink88":
(d) Io ho trovato che vale per ${(beta>0),(alpha+3/4beta=0),(alpha<=-4):}$, tu consideri per esempio un $beta$ negativo ma in tal caso il minimo non c'è o non è unico
Come sopra....se $beta>0$ come diavolo fai ad ottenere un solo massimo da una parabola con le punte verso l'alto?
Come hai detto al punto 1, per $beta>0$ si ottengono due massimi rispettando la condizione di continuità.
Ok, scusa....avevo letto davvero tutto molto velocemente.
Il punto d) chiede un minimo non un massimo (ero convinto del contrario)
Sono stato davvero troppo rapido sia nella lettura che nella risposta.
Chiedo venia.
Il punto d) chiede un minimo non un massimo (ero convinto del contrario)
Sono stato davvero troppo rapido sia nella lettura che nella risposta.
Chiedo venia.
Nessun problema.
Perchè dici questo?
Nella domanda (c) non è richiesta la continuità in tutto il dominio, ho imposto solo che ovviamente deve essere $beta<0$ e inoltre che $alpha>=0$ in modo che il vertice della parabola stia sempre sopra al valore a cui tende la funzione senza parametri per $x rightarrow +-sqrt(3/4)$, che è appunto 0.
Perchè dici questo?
"Bokonon":
No. α è univocamente definito dalla relazione di continuità che hai trovato
Nella domanda (c) non è richiesta la continuità in tutto il dominio, ho imposto solo che ovviamente deve essere $beta<0$ e inoltre che $alpha>=0$ in modo che il vertice della parabola stia sempre sopra al valore a cui tende la funzione senza parametri per $x rightarrow +-sqrt(3/4)$, che è appunto 0.
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