Continuità, derivabilità e punti di massimo
Ciao a tutti, ho dei problemi con questo esercizio:
Dire per quali valori di $alpha, beta$ parametri reali, la funzione definita a tratti $f(x)=$
$=alpha+betax^2 $ se $ x in [-sqrt(3/4),sqrt(3/4)]$
$=(3-4^2)/(1+x^2) $ se $ x in (-infty,-sqrt(3/4)) cup (sqrt(3/4), +infty)$
1) risulta continua e derivabile sull'intero dominio
2)possiede due distinti punti di massimo assoluto
1) Per la continuità ho controllato i punti di raccordo $-sqrt(3/4)$ e $sqrt(3/4)$
$lim_(xrightarrow(-sqrt(3/4)+))(3-4x^2)/(1+x^2)=0$
$lim_(xrightarrow(-sqrt(3/4)-))(alpha+betax^2)=alpha+(3/4)beta$
$f(-sqrt(3/4))=alpha+(3/4)beta$
quindi per essere continua in $-sqrt(3/4)$ deve essere $alpha=-(3/4)beta$
Per il punto $sqrt(3/4)$ ho ottenuto gli stessi risultati e quindi f è continua in $-sqrt(3/4)$e$sqrt(3/4)$ per $alpha=-(3/4)beta$
Per la derivabilità:
$lim_(xrightarrow(-sqrt(3/4)-))f'(x)=lim_(xrightarrow(-sqrt(3/4)-))((-14x)/(1+x^2)^2)=(16sqrt(3))/7$
$lim_(xrightarrow(-sqrt(3/4)+))f'(x)=lim_(xrightarrow(-sqrt(3/4)+))(2betax)=-sqrt(3)beta$
quindi per essere derivabile in $-sqrt(3/4)$ deve essere $beta=-16/7$
$lim_(xrightarrow(sqrt(3/4)-))f'(x)=lim_(xrightarrow(sqrt(3/4)-))((-14x)/(1+x^2)^2)=-(16sqrt(3))/7$
$lim_(xrightarrow(sqrt(3/4)+))f'(x)=lim_(xrightarrow(sqrt(3/4)+))(2betax)=sqrt(3)beta$
quindi per essere derivabile in $-sqrt(3/4)$ e $sqrt(3/4$ deve essere $beta=-16/7$
quindi è continua e derivabile sul dominio se $beta=-16/7$ e $alpha=12/7$, per ora è corretto?
2)Non so bene come procedere, dovrei considerare i vari rami separatamente e studiare il segno della derivata prima per vedere la monotonia della funzione? Qualcuno potrebbe dirmi come procedere?
Dire per quali valori di $alpha, beta$ parametri reali, la funzione definita a tratti $f(x)=$
$=alpha+betax^2 $ se $ x in [-sqrt(3/4),sqrt(3/4)]$
$=(3-4^2)/(1+x^2) $ se $ x in (-infty,-sqrt(3/4)) cup (sqrt(3/4), +infty)$
1) risulta continua e derivabile sull'intero dominio
2)possiede due distinti punti di massimo assoluto
1) Per la continuità ho controllato i punti di raccordo $-sqrt(3/4)$ e $sqrt(3/4)$
$lim_(xrightarrow(-sqrt(3/4)+))(3-4x^2)/(1+x^2)=0$
$lim_(xrightarrow(-sqrt(3/4)-))(alpha+betax^2)=alpha+(3/4)beta$
$f(-sqrt(3/4))=alpha+(3/4)beta$
quindi per essere continua in $-sqrt(3/4)$ deve essere $alpha=-(3/4)beta$
Per il punto $sqrt(3/4)$ ho ottenuto gli stessi risultati e quindi f è continua in $-sqrt(3/4)$e$sqrt(3/4)$ per $alpha=-(3/4)beta$
Per la derivabilità:
$lim_(xrightarrow(-sqrt(3/4)-))f'(x)=lim_(xrightarrow(-sqrt(3/4)-))((-14x)/(1+x^2)^2)=(16sqrt(3))/7$
$lim_(xrightarrow(-sqrt(3/4)+))f'(x)=lim_(xrightarrow(-sqrt(3/4)+))(2betax)=-sqrt(3)beta$
quindi per essere derivabile in $-sqrt(3/4)$ deve essere $beta=-16/7$
$lim_(xrightarrow(sqrt(3/4)-))f'(x)=lim_(xrightarrow(sqrt(3/4)-))((-14x)/(1+x^2)^2)=-(16sqrt(3))/7$
$lim_(xrightarrow(sqrt(3/4)+))f'(x)=lim_(xrightarrow(sqrt(3/4)+))(2betax)=sqrt(3)beta$
quindi per essere derivabile in $-sqrt(3/4)$ e $sqrt(3/4$ deve essere $beta=-16/7$
quindi è continua e derivabile sul dominio se $beta=-16/7$ e $alpha=12/7$, per ora è corretto?
2)Non so bene come procedere, dovrei considerare i vari rami separatamente e studiare il segno della derivata prima per vedere la monotonia della funzione? Qualcuno potrebbe dirmi come procedere?
Risposte
Si, trova i massimi assoluti nei vari pezzi del dominio e poi confrontali.
Considero il primo ramo:
$f'(x)=2betax$ noto che
$f'(x)>0$ se $(beta<0 wedge x in[-sqrt(3/4),0)) cup (beta>0 wedge x in(0,sqrt(3/4)])$
$f'(x)<0$ se $(beta>0 wedge x in[-sqrt(3/4),0)) cup (beta<0 wedge x in(0,sqrt(3/4)])$
quindi
se $beta<0$
f è crescente in $[-sqrt(3/4),0)$ e descrescente in $(0,sqrt(3/4)]$ in 0 si annulla quindi 0 è punto di massimo?
se $beta>0$
f è decrescente in $[-sqrt(3/4),0)$ e crescente in $(0,sqrt(3/4)]$ in 0 si annulla quindi 0 è punto di minimo?
C'è qualcosa di sensato in quello che ho scritto?
$f'(x)=2betax$ noto che
$f'(x)>0$ se $(beta<0 wedge x in[-sqrt(3/4),0)) cup (beta>0 wedge x in(0,sqrt(3/4)])$
$f'(x)<0$ se $(beta>0 wedge x in[-sqrt(3/4),0)) cup (beta<0 wedge x in(0,sqrt(3/4)])$
quindi
se $beta<0$
f è crescente in $[-sqrt(3/4),0)$ e descrescente in $(0,sqrt(3/4)]$ in 0 si annulla quindi 0 è punto di massimo?
se $beta>0$
f è decrescente in $[-sqrt(3/4),0)$ e crescente in $(0,sqrt(3/4)]$ in 0 si annulla quindi 0 è punto di minimo?
C'è qualcosa di sensato in quello che ho scritto?
E' sensato ma occhio che un punto di massimo assoluto non necessariamente e' punto stazionario.
Giusto, grazie delle risposte. Per il secondo ramo quindi:
$f'(x)=(-14x)/(1+x^2)^2$ noto che
$f'(x)>=0$ se $x<=0$
$f'(x)<=0$ se $x>=0$
quindi
f è crescente in $(-infty, -sqrt(3/4))$
f è decrescente in $(sqrt(3/4), +infty)$
Mettendo insieme quanto ottenuto, se per esempio $beta>0$ si ha:
f crescente in $(-infty, -sqrt(3/4))$
f decrescente in $[-sqrt(3/4), 0)$
f crescente in $(0, sqrt(3/4)]$
f decrescente in $(sqrt(3/4), +infty)$
quindi in questo caso i punti in corrispondenza dei quali c'è una variazione di monotonia sono $-sqrt(3/4)$ e $sqrt(3/4)$
e dato che $f(-sqrt(3/4))=f(sqrt(3/4))$ questi sono due punti distinti di massimo assoluto.
E' giusto?
E se per caso la richiesta fosse stata di aver un solo punto di massimo assoluto, sarebbe bastato prendere $beta<0$ e osservare che l'unico punto in vi è variazione di monotonia è $0$ che è quindi l'unico punto di massimo assoluto?
$f'(x)=(-14x)/(1+x^2)^2$ noto che
$f'(x)>=0$ se $x<=0$
$f'(x)<=0$ se $x>=0$
quindi
f è crescente in $(-infty, -sqrt(3/4))$
f è decrescente in $(sqrt(3/4), +infty)$
Mettendo insieme quanto ottenuto, se per esempio $beta>0$ si ha:
f crescente in $(-infty, -sqrt(3/4))$
f decrescente in $[-sqrt(3/4), 0)$
f crescente in $(0, sqrt(3/4)]$
f decrescente in $(sqrt(3/4), +infty)$
quindi in questo caso i punti in corrispondenza dei quali c'è una variazione di monotonia sono $-sqrt(3/4)$ e $sqrt(3/4)$
e dato che $f(-sqrt(3/4))=f(sqrt(3/4))$ questi sono due punti distinti di massimo assoluto.
E' giusto?
E se per caso la richiesta fosse stata di aver un solo punto di massimo assoluto, sarebbe bastato prendere $beta<0$ e osservare che l'unico punto in vi è variazione di monotonia è $0$ che è quindi l'unico punto di massimo assoluto?
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