Continuità, derivabilità e invertibilità
Buongiorno,
come dal titolo del topic, solitamente ho problemi con questi concetti.
Vorrei scrivervi come procedo solitamente e se foste gentili da "migliorare" i miei ragionamenti.
Data una funzione f(x)=...
* continuità: in primis guardo se è somma(/differenza)/prodotto/rapporto o composta di funzioni continue.
poi usando la definizione di continuità in un punto, verifico se ci sono dei casi particolari in cui la mia funzione potrebbe presentare discontinuità (e ne analizzo il tipo). oppure semplicemente, verifico che sia derivabile.
* derivabilità: calcolo la derivata prima e il suo dominio, se coincide con il dominio della f(x) allora è derivabile. Nei punti in cui sembra non esistere, provo con la definizione di derivabilità in un punto.
* invertibilità: dimostro che sia bigettiva. Esiste una procedura per scrivere la funzione inversa?
Poi mi è capitato un esercizio che mi chiedeva il dominio dell'inversa; ma non è semplicemente il codominio della funzione? dalla definizione di bigettiva.
grazie.
ero anche indeciso, data la banalità delle domande, di aprire questo argomento nella sezione "Secondaria II grado", perdonatemi se ho sbagliato.
come dal titolo del topic, solitamente ho problemi con questi concetti.
Vorrei scrivervi come procedo solitamente e se foste gentili da "migliorare" i miei ragionamenti.
Data una funzione f(x)=...
* continuità: in primis guardo se è somma(/differenza)/prodotto/rapporto o composta di funzioni continue.
poi usando la definizione di continuità in un punto, verifico se ci sono dei casi particolari in cui la mia funzione potrebbe presentare discontinuità (e ne analizzo il tipo). oppure semplicemente, verifico che sia derivabile.
* derivabilità: calcolo la derivata prima e il suo dominio, se coincide con il dominio della f(x) allora è derivabile. Nei punti in cui sembra non esistere, provo con la definizione di derivabilità in un punto.
* invertibilità: dimostro che sia bigettiva. Esiste una procedura per scrivere la funzione inversa?
Poi mi è capitato un esercizio che mi chiedeva il dominio dell'inversa; ma non è semplicemente il codominio della funzione? dalla definizione di bigettiva.
grazie.
ero anche indeciso, data la banalità delle domande, di aprire questo argomento nella sezione "Secondaria II grado", perdonatemi se ho sbagliato.
Risposte
Per l'invertibilità dovrebbe andare, se è facile si potrebbe studiare la monotonia della f, se essa è monotona sarà iniettiva, e questo ti basta per stabilire che sia invertibile in quanto la monotonia è garanzia della iniettività e suriettività.
"Darèios89":
Per l'invertibilità dovrebbe andare, se è facile si potrebbe studiare la monotonia della f, se essa è monotona sarà iniettiva, e questo ti basta per stabilire che sia invertibile in quanto la monotonia è garanzia della iniettività e suriettività.
ok. giusto, non ci avevo pensato, è un bell'aiuto!
gli altri due ragionamenti come ti sembrano?
su wikipedia ho trovato la formula per calcolare l'inversa, anche se non è sempre valida, ma se mi viene esplicitamente richiesto, non penso facciano domande impossibili!
Non sempre l'inversa è calcolabile, l'importante è sapere che esiste!
E per gli altri punti? Ho fatto affermazioni corrette?
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