Continuità, derivabilità e differenziabilità
Buon pomeriggio a tutti:
ho un esercizio in cui devo studiare la continuità la derivabilità e la differenziabilità della funzione $f(x,y)=|x|+|y|^(3/2):
la prima domanda è la seguente: devo discutere la continuità suggli assi cartesiani e ho ragionato così: escludendo l'origine sugli assi cartesiani la funzione è continua. poi ho discusso a parte la continuità in (0,0) e in questo caso devo verificare quattro limiti? cioè devo calcolare i limiti della funzioni per x che tende a zero da volori più grandi o più piccoli? e lo stesso per y? (es. (x,y)-->(0+,0+), (x,y)-->(0+,0-), (x,y)-->(0-,0+), (x,y)-->(0-,0-)?)
la seconda domanda è questa:per la derivabilità come ragiono? io applicherei la definizione di derivata parziale e calcolerei tali valori sugli assi cartesiani. per esempio $v(1,0) P_o(x_o,0)$ cioè sull'asse x:
$lim_t->0 ((|0+t|,0)-f(0,0))/t$ $=1$ ma io in realtà so che non dovrebbe essere derivabile perché c'è il modulo... e che faccio quindi? soprattutto non riesco a calcolare limite destro e limite sinistro perché è con quelli che si dimostra che non è derivabile, come si fa in genere per funzioni in una variabile. non so che scrivere sinceramente...
ho un esercizio in cui devo studiare la continuità la derivabilità e la differenziabilità della funzione $f(x,y)=|x|+|y|^(3/2):
la prima domanda è la seguente: devo discutere la continuità suggli assi cartesiani e ho ragionato così: escludendo l'origine sugli assi cartesiani la funzione è continua. poi ho discusso a parte la continuità in (0,0) e in questo caso devo verificare quattro limiti? cioè devo calcolare i limiti della funzioni per x che tende a zero da volori più grandi o più piccoli? e lo stesso per y? (es. (x,y)-->(0+,0+), (x,y)-->(0+,0-), (x,y)-->(0-,0+), (x,y)-->(0-,0-)?)
la seconda domanda è questa:per la derivabilità come ragiono? io applicherei la definizione di derivata parziale e calcolerei tali valori sugli assi cartesiani. per esempio $v(1,0) P_o(x_o,0)$ cioè sull'asse x:
$lim_t->0 ((|0+t|,0)-f(0,0))/t$ $=1$ ma io in realtà so che non dovrebbe essere derivabile perché c'è il modulo... e che faccio quindi? soprattutto non riesco a calcolare limite destro e limite sinistro perché è con quelli che si dimostra che non è derivabile, come si fa in genere per funzioni in una variabile. non so che scrivere sinceramente...
Risposte
Iniziamo con la continuità. Va bene distinguere l'origine dagli altri punti del piano, in questo caso. Però poi sbagli completamente a trattare la continuità in [tex](0,0)[/tex]! Devi provare, se proprio non vuoi ricorrere alla definizione, che
[tex]\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} |x| + |y|^{\frac{3}{2}} = 0[/tex]
e, come ben saprai, il limite va calcolato su ogni possibile cammino che converge all'origine. Non puoi calcolare il limite su qualche direzione che ti piace di più delle altre e concludere che esiste il limite. In questo caso è facile: possiamo supporre che [tex]|x|,|y| < 1[/tex]. In questo modo [tex]|y|^{\frac{3}{2}} \le |y|[/tex] e quindi [tex]|x|+ |y|^{\frac{3}{2}} \le |x| + |y| \le 2 \|(x,y)\| \to 0 \quad \text{se } (x,y) \to (0,0)[/tex].
[tex]\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} |x| + |y|^{\frac{3}{2}} = 0[/tex]
e, come ben saprai, il limite va calcolato su ogni possibile cammino che converge all'origine. Non puoi calcolare il limite su qualche direzione che ti piace di più delle altre e concludere che esiste il limite. In questo caso è facile: possiamo supporre che [tex]|x|,|y| < 1[/tex]. In questo modo [tex]|y|^{\frac{3}{2}} \le |y|[/tex] e quindi [tex]|x|+ |y|^{\frac{3}{2}} \le |x| + |y| \le 2 \|(x,y)\| \to 0 \quad \text{se } (x,y) \to (0,0)[/tex].
Scusate l'eventuale banalità della domanda, ma per la continuità non basta asserire che la funzione è continua perchè somma di funzioni continue in una variabile?? Voglio dire, tutte le proprietà sulla continuità viste per le funzioni ad una variabile, non continuano a valere anche in più variabili?
@Lucky: certo che basta. Maurer stava sottolineando semplicemente che se proprio vuoi dimostrarlo in maniera completa, non puoi farlo come ha suggerito valerio, in quanto in tal modo non concludi niente. In effetti anche per la derivabilità (non la differenziabilità!) si potrebbe ragionare in un modo simile e scoprire che...
Che non è derivabile per via del modulo di x??
A lezione la professoressa ci ha assegnato un esercizio simile e per quanto riguarda la differenziabilità ci ha detto di prestare attenzione ai casi in cui le derivate parziali siano estendibili per continuità. Ma non ho capito bene il nesso!! Che mi dite a riguardo?
A lezione la professoressa ci ha assegnato un esercizio simile e per quanto riguarda la differenziabilità ci ha detto di prestare attenzione ai casi in cui le derivate parziali siano estendibili per continuità. Ma non ho capito bene il nesso!! Che mi dite a riguardo?
si adesso ho capito, posso dire che la funzione è continua perché somma di funzioni continue.
per la derivabilità lo so che non è possibile derivare il modulo però se avessi una funzione più complicata devo dimostrare che le derivate parziali non sono derivabili? devo parametrizzare?
poi un'altra domanda mi sorge spontanea: il prof ci ha enunciato, senza però dimostarlo, un teorema (mi sembra che si chiami teorema del differenziale totale) che afferma che se una funzione $fin C^1$ allora è differenziabile. tuttavia il prof ha tenuto a precisare che l'enunciato è vero in una sola direzione e ci ha detto che potrebbero esistere funzioni differenziabili che non hanno derivate parziali. ma o ho capito male io oppure mi sfugge qualcosa perché per dimostrare che una funzione è differenziabile facciamo il $lim_(P->P_0)( f(x,y)-z)/sqrt[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2]=0$ dove z è il piano tangente ma per calcolare il piano tangente servono le derivate parziali ma se io non ho potuto calcolare le derivate parziali come calcolo l'equazione del piano tangente e di conseguenza il limite???
per la derivabilità lo so che non è possibile derivare il modulo però se avessi una funzione più complicata devo dimostrare che le derivate parziali non sono derivabili? devo parametrizzare?
poi un'altra domanda mi sorge spontanea: il prof ci ha enunciato, senza però dimostarlo, un teorema (mi sembra che si chiami teorema del differenziale totale) che afferma che se una funzione $fin C^1$ allora è differenziabile. tuttavia il prof ha tenuto a precisare che l'enunciato è vero in una sola direzione e ci ha detto che potrebbero esistere funzioni differenziabili che non hanno derivate parziali. ma o ho capito male io oppure mi sfugge qualcosa perché per dimostrare che una funzione è differenziabile facciamo il $lim_(P->P_0)( f(x,y)-z)/sqrt[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2]=0$ dove z è il piano tangente ma per calcolare il piano tangente servono le derivate parziali ma se io non ho potuto calcolare le derivate parziali come calcolo l'equazione del piano tangente e di conseguenza il limite???
il teorema del differenziale totale vale anche in R^n, forse voleva dire che è solo una condizione sufficiente, NON necessaria per la differenziabilità. inoltre, se una funzione è differenziabile, allora ammette derivate parziali (si dimostra facilmente, penso che tu abbia capito male). di più: ammette tutte le derivate direzionali ed è continua!
per dimostrare che una funzione è differenziabile si usa la definizione, o si guarda se è C^1, anche se questo è in realtà un corollario del teorema del diff totale:
la definizione dice che f è differenziabile se vale:
$f(x) = f(x_0) + + o(||x-x_0||)
dove $x$ indica un vettore
si dimostra che $a = grad f(x_0)$, quindi puoi riparafrasare dicendo che:
$lim_{x to x_0} (f(x) - f(x_0) -) / (||x - x_0||) = 0
le derivate parziali vanno calcolate, d'altra parte ti devono dare la funzione e quindi te le puoi trovare
per dimostrare che una funzione è differenziabile si usa la definizione, o si guarda se è C^1, anche se questo è in realtà un corollario del teorema del diff totale:
la definizione dice che f è differenziabile se vale:
$f(x) = f(x_0) +
dove $x$ indica un vettore
si dimostra che $a = grad f(x_0)$, quindi puoi riparafrasare dicendo che:
$lim_{x to x_0} (f(x) - f(x_0) -
le derivate parziali vanno calcolate, d'altra parte ti devono dare la funzione e quindi te le puoi trovare
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