Continuità, derivabilità e differenziabilità

[domenico.migl]

Salve a tutti, ho svolto per intero questo esercizio ma non sono sicuro che sia corretto, se qualcuno 5 minuti potrebbe dargli un'occhiata?
Dovrei vedere se la seguente funzione

$f(x,y)={ ( (xsqrt(y))/(x^2+y^2) " se " (x,y)!=(0,0)),( 0 " se "(x,y)=(0,0)):}$


è continua, derivabilie e differenziabilie in $(x,y)=(0,0)$.
Cominciamo con la continuità: devo calcolare il seguente limite e verificare che faccia zero:

$lim_{(x,y) to (0,0)} (xsqrt(y))/(x^2+y^2)$

Utilizzando le restrizioni si verifica facilmente che il limite non esiste. Quindi la funzione non è continua in $(x,y)=(0,0)$.
Passiamo alla derivabilità: utilizzando la definizione di derivata parziale si giunge con altrettanta facilità che

$f_x(0,0)=0$
$f_y(0,0)=0$

Passiamo alla differenziabilità: devo verificare che:

$lim_{(h,k)to(0,0)}(\Deltaf-df)/sqrt(h^2+k^2)=0$

ovvero:

$lim_{(h,k)to(0,0)}(f(0+h,0+k))/sqrt(h^2+k^2)=lim_{(h,k)to(0,0)}((hsqrt(k))/(h^2+k^2)*1/sqrt(h^2+k^2))=lim_{(h,k)to(0,0)}(hsqrt(k))/(h^2+k^2)^(3/2)$

Che non esiste e quindi non è differenziabile nel punto in esame.
Ringrazio chiunque abbia speso un po' del suo tempo per esaminare il questo! Grazie!!

[otta96]

Per la differenziabilità potevi cavartela anche senza fare nessun conto, perché puoi già sapere che non è differenziabile (non è continua!), il resto tutto bene.

[domenico.migl]

Si me ne ero accorto, però volevo conferma di come ho svolto la differenziabilità .. era quello il passaggio di cui non ero sicuro.. mi confermi che è svolto correttamente quindi?

[otta96]

Si si tranquillo.