Continuità, derivabilità e differenziabilità

[Navarone89]

Data $f(x,y)=|x|y$
Verificare che la continuità, la derivabilità e la differenziabilità di $f$ in $(RR)^2$
E' corretto giustificare tutto come segue?
1) Posso dire che dato che la funzione $f(x,y)=|x|$ è continua e che la funzione $f(x,y)=y$ è continua, allora il loro prodotto sarà ancora una funzione continua in tutto il dominio.
2) Si nota subito che la derivata prima parziale in $x$, non è definita per tutti i punti del tipo$(0,y)$ dunque la nostra funzione sarà derivabile in tutto il dominio meno la retta $x=0$.
3) Le derivate parziali prime sono continue in ogni punto del dominio tranne che nei punti del tipo $(0,y)$ allora $f$ è differenziabile in tutto il dominio tranne che nei punti sopra citati.

E' una risposta corretta oppure devo far vedere qualcosa' altro? Grazie

[Zero87]

"Navarone89":1) Posso dire che dato che la funzione $f(x,y)=|x|$ è continua e che la funzione $f(x,y)=y$ è continua, allora il loro prodotto sarà ancora una funzione continua in tutto il dominio.

Sì, ricordo anche che risultati del genere qualche libro ce l'ha come teorema (somma/prodotto/composizione tra funzioni continue).

2) Si nota subito che la derivata prima parziale in $x$, non è definita per tutti i punti del tipo$(0,y)$ dunque la nostra funzione sarà derivabile in tutto il dominio meno la retta $x=0$.

Sì, avrei detto uguale, magari pensando al complementare, cioè dicendo che $f(x,y)$ è derivabile nei punti in cui lo sono i singoli termini (essendo un prodotto). Dovrebbe essere la stessa cosa.

3) Le derivate parziali prime sono continue in ogni punto del dominio tranne che nei punti del tipo $(0,y)$ allora $f$ è differenziabile in tutto il dominio tranne che nei punti sopra citati.

Qui ho davvero un buco di memoria e a primo impatto avrei detto la stessa cosa.
Però ricordo che "derivabile" vuol dire che esistono le derivate parziali (nel punto) mentre "differenziabile" vuol dire che è approssimabile (nel punto) da un'applicazione lineare nella quale poi entrano pure in gioco le derivate alla fin fine.
Però sospetto che in due variabili siano 2 cose differenti - analisi 2 l'ho fatto 6 anni fa, abbi comprensione per il sottoscritto.