Continuità derivabilità e differenziabilità
Ho questa funzione in due variabili:
$f(x,y)={(sin(xy)/(x^2+y^2), (x,y)!=0),(text{0}, (x,y)=0):}$
Devo studiarne la continuità, derivabilità e differenziabilità io ho fatto in questo modo:
Ho posto $x=pcos(\theta)$ e $y=psen\theta$
E mi è uscito: $(sin(p^2sen(\theta)cos(\theta))/(p^2cos^2(\theta)+p^2sen^2(\theta))$
e facendo il limite di p che tende a 0 mi viene 0.
Dunque la funzione è continua..ho fatto bene fino ad ora?
$f(x,y)={(sin(xy)/(x^2+y^2), (x,y)!=0),(text{0}, (x,y)=0):}$
Devo studiarne la continuità, derivabilità e differenziabilità io ho fatto in questo modo:
Ho posto $x=pcos(\theta)$ e $y=psen\theta$
E mi è uscito: $(sin(p^2sen(\theta)cos(\theta))/(p^2cos^2(\theta)+p^2sen^2(\theta))$
e facendo il limite di p che tende a 0 mi viene 0.
Dunque la funzione è continua..ho fatto bene fino ad ora?
Risposte
mmm... insomma...
fare qualche prova (se possibile) per vedere se le conclusioni sono corrette non guasta mai.
Alle elementari insegnano , ad es., la cd. "prova del 9" per verificare se una moltiplicazione è corretta.
Qui proviamo a fare questa cosa: poni $y=x$ e quindi fai il imite a zero della $f(x)$ che ti ritrovi.
fare qualche prova (se possibile) per vedere se le conclusioni sono corrette non guasta mai.
Alle elementari insegnano , ad es., la cd. "prova del 9" per verificare se una moltiplicazione è corretta.
Qui proviamo a fare questa cosa: poni $y=x$ e quindi fai il imite a zero della $f(x)$ che ti ritrovi.
Ahhh pensavo che $p^2$ non potesse uscire fuori l'argomento del seno.
Per vedere se una funzione è derivabile o meno faccio le derivate parziali rispetto ad x e ad y. Mi escono:
$fx(0,0)= lim_(h->0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h$
$fy(0,0)= lim_(h->0)(f(0,0+h)-f(0,0))/h$
Entrambi mi vengono zero per cui è derivabile ho fatto bene?
Per vedere se una funzione è derivabile o meno faccio le derivate parziali rispetto ad x e ad y. Mi escono:
$fx(0,0)= lim_(h->0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h$
$fy(0,0)= lim_(h->0)(f(0,0+h)-f(0,0))/h$
Entrambi mi vengono zero per cui è derivabile ho fatto bene?
L'utilizzo delle coordinate polari per la ricerca della continuità va sempre bene?
Dove non funzionano le coordinate polari?!
La derivabilità è giusta?
Devi studiare il punto critico che è zero, come puoi studiarlo con delle coordinate che in zero non funzionano? 
E quindi come devo fare?
Derivi la funzione rispetto a $x$ e controlli se esiste in $(0,0)$.
Derivi la funzione rispetto a $y$ e controlli se esiste in $(0,0)$.
Derivi la funzione rispetto a $y$ e controlli se esiste in $(0,0)$.
"Brancaleone":
Derivi la funzione rispetto a $x$ e controlli se esiste in $(0,0)$.
Derivi la funzione rispetto a $y$ e controlli se esiste in $(0,0)$.
L'ho fatto e mi viene 0..è giusto?
Non mi torna. Potresti postare qui i calcoli che hai svolto?
$fx(0,0) = ((0+h,0) - f(0,0))/h$
$fy (0,0) = ((0, k+0) - f(0,0))/k$
$fy (0,0) = ((0, k+0) - f(0,0))/k$
E se ti muovi lungo la bisettrice?
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