Continuità, derivabilità, differenziabilità f(x,y)

[Gost91]

Buongiorno a tutti!
Oggi i miei problemi sono tutti dedicati alle funzioni in più variabili.

Data la funzione:

${(sin(x^3y^2),se (x,y)!=(0,0)),(0,se (x,y)=(0,0)):}$

stabilire se è continua, derivabile e differenziabile nell'origine.


*****Continuità*****

Ora, per verificare la continuità in (0,0) deve valere che:

$\lim_{(x,y) \to \(0,0)}f(x,y)=0$

indipendentemente dalla direzione e verso in cui ci si "avvicina" a (0,0).

Da quello che ho capito (sperando bene), per dimostrare la continuità si passa in coordinate polari, cioè si effettuano le seguenti sostituzioni:

${(x=rhocostheta),(y=rhosintheta):}$

ottenendo così una nuova funzione associata $f(rho,theta)$ che dovrebbe corrispondere a:

${(sin((rhocostheta)^3(rhosintheta)^2),se (x,y)!=(0,0)),(0,se (x,y)=(0,0)):}$ (...giusto???)

ora, ribadendo il fatto che non sono assolutamente sicuro di quello che dico, calcolando $\lim_{(rho, theta) \to \(0,0)}f(rho, theta)$ , si verificherebbe che per ogni circonferenza di raggio $rhorarr0$ centrata in (0,0) il valore del limite tende a 0, quindi:

$\lim_{(rho, theta) \to \(0,0)}f(rho, theta)=\lim_{(rho, theta) \to \(0,0)}sin((rhocostheta)^3(rhosintheta)^2)$

che dovrebbe tornare :

$\lim_{(rho, theta) \to \(0,0)}sin((rhocostheta)^3(rhosintheta)^2)=\lim_{(rho, theta) \to \(0,0)}(sin(rho^5costheta^3sintheta^2)$

ora $sin(rho^5costheta^3sintheta^2)<=sin(rho^5|costheta^3sintheta^2|)$

quindi, visto che $rhorarr0$, il limite vale 0 indipendentemente da $theta$, dimostrando che f(x,y) è continua in (0,0)

Quante bischerate ho scritto fino a ora?!?


*****Derivabilità*****

f(x,y) per essere derivabile in (0,0) deve essere definito il gradiente in (0,0), cioè devono esistere entrambe le derivate parziali di f(x,y) in (0,0).

Ricordo che:

${(sin(x^3y^2),se (x,y)!=(0,0)),(0,se (x,y)=(0,0)):}$

quindi (applicando la definizione):

$\lim_{(h) \to \(0+)}(f(h,0)-f(0,0))/h=\lim_{(h) \to \(0-)}(f(h,0)-f(0,0))/h=L_1$

e

$\lim_{(h) \to \(0+)}(f(0,h)-f(0,0))/h=\lim_{(h) \to \(0-)}(f(0,h)-f(0,0))/h=L_2$

e qui mi sento già più in difficoltà.

allora:

1) $(delf)/(delx)$

$\lim_{(h) \to \(0+)}(f(h,0)-f(0,0))/h=\lim_{(h) \to \(0+)}(sin((h^3)0)-0)/h=\lim_{(h) \to \(0+)}0/h$

ora perdonate la mia abissale ignoranza ma posso eliminare la forma indeterminata semplicemente moltiplicando numeratore e denominatore per h?

se fosse corretto entrambi i limiti tornerebbero 0 quindi $(delf)/(delx)=0$

2) $(delf)/(dely)

$\lim_{(h) \to \(0+)}(f(0,h)-f(0,0))/h=\lim_{(h) \to \(0+)}(sin((0(h^2))-0)/h=\lim_{(h) \to \(0+)}0/h$

discorso analogo al precedente, quindi $(delf)/(dely)=0$

Quindi concluderei che è anche derivabile in (0,0) in quanto esiste $nablaf(0,0)$


*****Differenziabilità*****

Per verificare la differenziabilità in (0,0) di f(x,y) si deve dimostrare l'esistenza del piano tangente in (0,0)

Le condizioni necessarie, cioè in (0,0) la funzione deve essere sia continua che derivabile, sono verificate quindi posso procedere.

per l'esistenza del piano tangente bisogna verificare il seguente limite (non sono sicuro che la formula sia corretta) sia uguale a 0:

$\lim_{(h,k) \to \(0,0)}(f(0+h,0+k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k)/(sqrt(h^2+k^2))=0$

cioè che $f(0+h,0+k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k=sigma(sqrt(h^2+k^2))$

ricordo che f(x,y) è:

${(sin(x^3y^2),se (x,y)!=(0,0)),(0,se (x,y)=(0,0)):}$

e che $nablaf(0,0)=(0,0)$, quindi il limite dovrebbe tornare:

$\lim_{(h,k) \to \(0,0)} (f(0+h,0+k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k)/(sqrt(h^2+k^2)) =\lim_{(h,k) \to \(0,0)} (f(0+h,0+k)-0-0-0)/(sqrt(h^2+k^2)) =\lim_{(h,k) \to \(0,0)}(sin(h^3k^2))/(sqrt(h^2+k^2))$

ora a questo punto ripasserei in coordinate polari:

${(h=rhocostheta),(k=rhosintheta):}$

ottenendo:

$\lim_{(rho) \to \(0)} sin(rho^5costheta^3sintheta^2) /(|rho|)$

non concludendo niente

Quindi tirando le somme, la funzione risulta continua, derivabile e forse differenziabile nell'origine.


***************
Mi farebbe molto piacere se qualcuno potesse illustrarmi gli errori concettuali/di calcolo che ho commesso in questo esercizio
(sono sicuro di averne fatti una caterba!!!) e inoltre spiegarmi come risolvere il problema dell'ultimo limite.
Grazie mille in anticipo

[Gost91]

Nessuno è in grado di aiutarmi? :(

[Rigel1]

Se conosci i teoremi di continuità/differenziabilità del prodotto o composizione di funzioni continue/differenziabili, deduci subito che la funzione $f(x,y) = \sin(x^3 y^2)$, $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, è continua e differenziabile su tutto $\mathbb{R}^2$, dunque anche in $(0,0)$.
Non mi è chiaro se questo esercizio abbia qualche altro scopo nascosto...

[Gost91]

Gli scopi dell'esercizio sono:

1)Stabilire se la funzione in (0,0) è continua

2)Stabilire se la funzione in (0,0) è derivabile

3)Stabilire se la funzione in (0,0) è differenziabile

Il testo non richiede altro

[Rigel1]

Allora ribadisco quanto detto:
se sai che i polinomi (di due variabili) sono funzioni differenziabili in $\mathbb{R}^2$, che la funzione $\sin$ è differenziabile in $\mathbb{R}$, e che la composizione di funzioni differenziabili è differenziabile, l'esercizio è già fatto.

Se invece devi stabilire 1)-2)-3) usando la definizione, allora è un altro discorso.

[Gost91]

non avevo capito scusa :)!

no l'esericizio non richiede metodi specifici, vuole solamente che si determini (con qualsiasi metodo valido) se la funzione è continua, derivabile e differenziabile nell'origine

[Gost91]

Rigel:Se conosci i teoremi di continuità/differenziabilità del prodotto o composizione di funzioni continue/differenziabili, deduci subito che la funzione $f(x,y) = \sin(x^3 y^2)$, $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, è continua e differenziabile su tutto $\mathbb{R}^2$, dunque anche in $(0,0)$.
Non mi è chiaro se questo esercizio abbia qualche altro scopo nascosto...

Scusami tanto rigel ma mi sono reso conto solo ora che il browser non mi visualizzava correttamente quello che avevi scritto!

Premetto che non sono a conoscenza di questi teoremi, quindi mi metto subito alla ricerca :)

Quindi mi stai dicendo che la funzione $sin(x,y)$ e la funzione $x^3y^2$ essendo continue in tutto $RR^2$ (e di conseguenza anche la funzione composta $sin(x^3y^2)$) non

necessitano di una verifica in (0,0) in quanto (0,0)$inRR^2$.

Ma come fai a affermare che è anche differenziabile in (0,0)?

E' un discorso analogo a quello precedente?

E inoltre per la derivabilità i discorsi che ho fatto sono corretti?

Perdona questo bombardamento di domande ma purtroppo ho molti dubbi al riguardo di questa tipologia di esercizi!

Grazie mille