Continuità derivabilità differenziabilità
Salve a tutti,
mi sto imbattendo nello studio di funzioni in due variabili e svolgendo alcuni esercizi non mi son chiari alcuni passaggi.
Svolgendo questo esercizio ad esempio
$f(x,y)={((e^(x^2+y^2)-y^2-1)/sqrt(x^2+y^2),if x!=0),(0,if x=0):}$
mi viene chiesto di studiare la continuità in (0,0), la derivabilità in ogni punto e direzione e la differenziabilità; ma non son sicuro dei risultati che ottengo.
Inizio con la continuità:
il limite per (x,y)->(0,0) è forma indeterminata.
Provo allora con le cordinate polari ed ottengo
$lim_(\rho->0)((e^(\rho^2)-\rho^2sen^2t -1)/|\rho|)$
Ora son nel panico.
L'esponenziale tende a 1 per $\rho$ che tende a 0 quindi a meno di eresie nel limite avrei
$lim_(\rho->0)((1-\rho^2sen^2t-1)/|\rho|)$=$lim_(\rho->0)(\rhosen^2t)$=0 per $\rho$->0
Per me quindi è continua
Prima di continuare vorrei se possibile delle conferme su questo.
Grazie a tutti
mi sto imbattendo nello studio di funzioni in due variabili e svolgendo alcuni esercizi non mi son chiari alcuni passaggi.
Svolgendo questo esercizio ad esempio
$f(x,y)={((e^(x^2+y^2)-y^2-1)/sqrt(x^2+y^2),if x!=0),(0,if x=0):}$
mi viene chiesto di studiare la continuità in (0,0), la derivabilità in ogni punto e direzione e la differenziabilità; ma non son sicuro dei risultati che ottengo.
Inizio con la continuità:
il limite per (x,y)->(0,0) è forma indeterminata.
Provo allora con le cordinate polari ed ottengo
$lim_(\rho->0)((e^(\rho^2)-\rho^2sen^2t -1)/|\rho|)$
Ora son nel panico.
L'esponenziale tende a 1 per $\rho$ che tende a 0 quindi a meno di eresie nel limite avrei
$lim_(\rho->0)((1-\rho^2sen^2t-1)/|\rho|)$=$lim_(\rho->0)(\rhosen^2t)$=0 per $\rho$->0
Per me quindi è continua
Prima di continuare vorrei se possibile delle conferme su questo.
Grazie a tutti
Risposte
Sì è giusto, anche se io l'ho risolto con l'Hospital... Per il resto puoi notare che tranne in (0,0) le derivate parziali esistono e sono continue. Sapendo che la funzione è anche continua,questo ti basta per dimostrare la differenziabilità.
Grazie luca96,
però mi hai fatto venire un dubbio ovvero l' hai risolto con De Hopital in coordinate polari giusto?
Comunque oltre alle deduzioni che mi hai suggerito provo a svolgere i calcoli sperando di non sbagliare, quindi
per la derivabilità calcolo le derivate parziali e mi vengono:
$f_x=(xe^(x^2+y^2)(2x^2+2y^2-1)+xy^2+x)/((x^2+y^2)^(3/2))$
$f_y=(ye^(x^2+y^2)(2x^2+2y^2-1)-2yx^2-y^3+y)/((x^2+y^2)^(3/2))$
Provo a calcolare il valore delle derivate parziali come limite del rapporto incrementale ed ottengo
$f_x(0,0)=lim_(h->0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h=$$lim_(h->0)(e^(h^2)-1)/h^2=$$0$
$f_y(0,0)=lim_(k->0)(f(0,0+k)-f(0,0))/k=$$lim_(k->0)(e^(k^2)-k^2-1)/k^2=$$-1$
Posso dire che in (0,0) $f_x$ è continua mentre $f_y$ no?
La funzione allora è derivabile in tutto il dominio tranne che in (0,0)
Per la derivabilità secondo ogni direzione io procederei cosi.
Prendo un vettore generico unitario $u=(u_1,u_2)$ tale che $(u_1)^2+(u_2)^2=1$ e verifico che
$lim_(h->0)(f(0+hu_1,0+hu2)-f(0,0))/h$
esiste finito (damanda stupida va bene anche se esce zero?)
secondo i miei calcoli ottengo:
$lim_(h->0)(e^(h^2(u_1^2+u_2^2))-h^2u_2^2-1)/(h^2sqrt((u_1^2+u_2^2)))=$ $lim_(h->0)(e^(h^2)-h^2u_2^2-1)/h^2=$ $-u_2^2$
Arrivato qui non so cosa dire.
Posso affermare che è derivabile secondo ogni direzione in(0,0)? Se si la derivata direzionale è questa giusto?
$(Df(0,0))/(du)=f_x(0,0)u_1+ f_y(0,0)u_2=-u_2$
Ora mi sorge il dubbio però che sia in contraddizione con il risultatao di non derivabilità in(0,0) dimostrato prima.
Dove sbaglio
Vi ringrazio
però mi hai fatto venire un dubbio ovvero l' hai risolto con De Hopital in coordinate polari giusto?
Comunque oltre alle deduzioni che mi hai suggerito provo a svolgere i calcoli sperando di non sbagliare, quindi
per la derivabilità calcolo le derivate parziali e mi vengono:
$f_x=(xe^(x^2+y^2)(2x^2+2y^2-1)+xy^2+x)/((x^2+y^2)^(3/2))$
$f_y=(ye^(x^2+y^2)(2x^2+2y^2-1)-2yx^2-y^3+y)/((x^2+y^2)^(3/2))$
Provo a calcolare il valore delle derivate parziali come limite del rapporto incrementale ed ottengo
$f_x(0,0)=lim_(h->0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h=$$lim_(h->0)(e^(h^2)-1)/h^2=$$0$
$f_y(0,0)=lim_(k->0)(f(0,0+k)-f(0,0))/k=$$lim_(k->0)(e^(k^2)-k^2-1)/k^2=$$-1$
Posso dire che in (0,0) $f_x$ è continua mentre $f_y$ no?
La funzione allora è derivabile in tutto il dominio tranne che in (0,0)
Per la derivabilità secondo ogni direzione io procederei cosi.
Prendo un vettore generico unitario $u=(u_1,u_2)$ tale che $(u_1)^2+(u_2)^2=1$ e verifico che
$lim_(h->0)(f(0+hu_1,0+hu2)-f(0,0))/h$
esiste finito (damanda stupida va bene anche se esce zero?)
secondo i miei calcoli ottengo:
$lim_(h->0)(e^(h^2(u_1^2+u_2^2))-h^2u_2^2-1)/(h^2sqrt((u_1^2+u_2^2)))=$ $lim_(h->0)(e^(h^2)-h^2u_2^2-1)/h^2=$ $-u_2^2$
Arrivato qui non so cosa dire.
Posso affermare che è derivabile secondo ogni direzione in(0,0)? Se si la derivata direzionale è questa giusto?
$(Df(0,0))/(du)=f_x(0,0)u_1+ f_y(0,0)u_2=-u_2$
Ora mi sorge il dubbio però che sia in contraddizione con il risultatao di non derivabilità in(0,0) dimostrato prima.
Dove sbaglio
Vi ringrazio
Comunque perdonami, per essere differenziabile le derivate parziali devono essere continue in un intorno COMPRESO il punto. A priori dunque non saprei... Ho provato a fare il grafico e in effetti è derivabile in tutte le direzioni,tranne che lungo x (anche se non ho capito la tua spiegazione di questo fatto). Perdonami, ma al momento non mi vengono idee per dimostrare ciò 
Allora rivedendo un pò di appunti e facendo due considerazioni forse ho capito qualcosa.
Abbiamo detto che la funzione è continua in (0,0);
è derivabile in ogni punto in quanto esistono le derivate parziali,
è derivabile anche in (0,0) e qui il gradiende vale $\nablaf(0,0)=(0,-1)$;
è anche derivabile secondo ogni direzione perchè il limite esiste finito.
Ora devo dimostrare che sia differenziabile.
Svolgo i calcoli e posto
Abbiamo detto che la funzione è continua in (0,0);
è derivabile in ogni punto in quanto esistono le derivate parziali,
è derivabile anche in (0,0) e qui il gradiende vale $\nablaf(0,0)=(0,-1)$;
è anche derivabile secondo ogni direzione perchè il limite esiste finito.
Ora devo dimostrare che sia differenziabile.
Svolgo i calcoli e posto
Ho svolto i calcoli per la differenziabilità ed ottengo:
$lim_((h,k)->(0,0))(f(0+h,0+k)-f(0,0)-hf_x(0,0)-kf_y(0,0))/sqrt(h^2+k^2)=$$lim_((h,k)->(0,0))(e^(h^2+k^2)-2k^2-1+ksqrt(h^2+k^2))/(h^2+K^2)=$ passo a coordinate polari $lim_(\rho->0)(e^(\rho^2)-2\rho^2sen^2t-1+\rho^2sent)/\rho^2=$$-2sen^2t+sent$
dipendendo da $sent$ il limite non esiste e quindi la funzione non è differenziabile.
Spero siano giusti i calcoli e quindi che sia la soluzione corretta
$lim_((h,k)->(0,0))(f(0+h,0+k)-f(0,0)-hf_x(0,0)-kf_y(0,0))/sqrt(h^2+k^2)=$$lim_((h,k)->(0,0))(e^(h^2+k^2)-2k^2-1+ksqrt(h^2+k^2))/(h^2+K^2)=$ passo a coordinate polari $lim_(\rho->0)(e^(\rho^2)-2\rho^2sen^2t-1+\rho^2sent)/\rho^2=$$-2sen^2t+sent$
dipendendo da $sent$ il limite non esiste e quindi la funzione non è differenziabile.
Spero siano giusti i calcoli e quindi che sia la soluzione corretta
Ho svolto anch' io i calcoli, la funzione risulta essere derivabile solo in direzione y. Quindi non è differenziabile
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