Continuità, derivabilità, differenziabilità
Salve a tutti, oggi mi sono imbattuto in un esercizio dove mi si chiede di studiare continuità, derivabilità e differenziabilità nel punto (0,0) della funzione:
$f(x,y) = sqrt(|x^2-xy|)$
Uno dei primi problemi è capire come posso togliere il modulo... Ho provato a farlo e mi viene così, non so se è giusto:
$\{(sqrt(x^2-xy) ),(sqrt(x^2+xy) ):}$
La prima per x<0 ,y<0 e x>0, y>0 , la seconda per x<0, y>0 e x>0, y<0. Ammesso che sia giusto ora la continuità la si studia facendo il limite per (x,y) ->0+ e per (x,y)->0- e vedendo se i limiti sono uguali?
Per quanto riguarda la derivabilità devo trovare la derivata fx e la derivata fy poi cosa faccio? Devo vedere se i limiti destro e sinistro sono uguali?
E per la differenziabilità?
Mi basta sapere cosa devo fare, purtroppo ho una confusione immensa. Grazie in anticipo per da disponibilità.
$f(x,y) = sqrt(|x^2-xy|)$
Uno dei primi problemi è capire come posso togliere il modulo... Ho provato a farlo e mi viene così, non so se è giusto:
$\{(sqrt(x^2-xy) ),(sqrt(x^2+xy) ):}$
La prima per x<0 ,y<0 e x>0, y>0 , la seconda per x<0, y>0 e x>0, y<0. Ammesso che sia giusto ora la continuità la si studia facendo il limite per (x,y) ->0+ e per (x,y)->0- e vedendo se i limiti sono uguali?
Per quanto riguarda la derivabilità devo trovare la derivata fx e la derivata fy poi cosa faccio? Devo vedere se i limiti destro e sinistro sono uguali?
E per la differenziabilità?
Mi basta sapere cosa devo fare, purtroppo ho una confusione immensa. Grazie in anticipo per da disponibilità.
Risposte
ciao! intanto inizio a dirti questo:
$ |x^2-xy| = \{(x^2 - xy \text{ se } x^2-xy >= 0 ),(xy - x^2 \text{ altrimenti}):}$
Dopodiché per vedere nello specifico dove è verificata la prima condizione devi fare
$x^2-xy >= 0$
$x(x-y) >= 0$
che è vera per $ x>=0$ $\cap$ $x>=y $ oppure $x <=0$ $\cap$ $x<= y$
$ |x^2-xy| = \{(x^2 - xy \text{ se } x^2-xy >= 0 ),(xy - x^2 \text{ altrimenti}):}$
Dopodiché per vedere nello specifico dove è verificata la prima condizione devi fare
$x^2-xy >= 0$
$x(x-y) >= 0$
che è vera per $ x>=0$ $\cap$ $x>=y $ oppure $x <=0$ $\cap$ $x<= y$
Ok, ora che ho tolto il modulo quale funzione dovrei considerare per svolgere la continuità, derivabilità e differenziabilità? $sqrt(x^2-xy)$ oppure $sqrt(xy-x^2)$?
Poi per la continuità basta che $lim_(x,y->(0,0))f(x,y)=f(0,0)$ , giusto?
Per la derivabilità invece: $lim_(h->0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h$ e $lim_(k->0)(f(0,0+k)-f(0,0))/k$ devono esistere ed essere finiti.
Per la differenziabilità come si opera?
Poi per la continuità basta che $lim_(x,y->(0,0))f(x,y)=f(0,0)$ , giusto?
Per la derivabilità invece: $lim_(h->0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h$ e $lim_(k->0)(f(0,0+k)-f(0,0))/k$ devono esistere ed essere finiti.
Per la differenziabilità come si opera?
applicando la nozione di differenziabilità, per cui devi sempre calcolare un limite
Sul quaderno ho scritto: $lim_(h,k->(0,0))(f(x_0 +h, y_0+k)-f(x_0,y_0)-f_x'(x_0,y_0)*h-f_y'(x_0,y_0)*k)/sqrt(h^2+k^2)$
Potete almeno dirmi se è giusta e se devo usare questa?
Potete almeno dirmi se è giusta e se devo usare questa?
precisamente, devi verificare che quel limite fa 0. altrimenti non è differenziabile
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