Continuità, derivabilita, differenziabilita
Buongiorno.
Sto svolgendo una serie di esercizi da esame che data una funzione mi chiedono di verificarne la continuità, derivabilita e differenziabilita in (x,y)=(0,0) e successivamente di verificare se vale la formula del gradiente per $ |nu|=1 $
Data $ f(x,y)= [( |x|^3 )(|y|^(5/2))]/ [(|x|^4)+(|y|^3)], (X,y) diverso (0,0) $
$ 0, (x,y) =(0,0)$
Ora tramite maggiorazioni arrivo a dire che. $ f(x,y)< [(|x|^4)+(|y|^3)]^(7/12 ) $ quindi il limite tende a zero perciò la funzione è continua.
Per la derivabilita faccio il rapporto incrementale in ascissa e ordinata nulla ed entrambi vengono zero perciò so che $ grad f(0,0)=(0,0) $
Quindi nell origine la funzione è derivabile.
Per la differenziabilita devo fare sempre il rapporto incrementale fratto il modulo ( cioè $ (x^2 + y^2)^(1/2) $
Vero??
Se poi so che è differenziabile la formula del gradiente va dimostrate comunque?? Come?
Sto svolgendo una serie di esercizi da esame che data una funzione mi chiedono di verificarne la continuità, derivabilita e differenziabilita in (x,y)=(0,0) e successivamente di verificare se vale la formula del gradiente per $ |nu|=1 $
Data $ f(x,y)= [( |x|^3 )(|y|^(5/2))]/ [(|x|^4)+(|y|^3)], (X,y) diverso (0,0) $
$ 0, (x,y) =(0,0)$
Ora tramite maggiorazioni arrivo a dire che. $ f(x,y)< [(|x|^4)+(|y|^3)]^(7/12 ) $ quindi il limite tende a zero perciò la funzione è continua.
Per la derivabilita faccio il rapporto incrementale in ascissa e ordinata nulla ed entrambi vengono zero perciò so che $ grad f(0,0)=(0,0) $
Quindi nell origine la funzione è derivabile.
Per la differenziabilita devo fare sempre il rapporto incrementale fratto il modulo ( cioè $ (x^2 + y^2)^(1/2) $
Vero??
Se poi so che è differenziabile la formula del gradiente va dimostrate comunque?? Come?
Risposte
Ok quindi se é differenziabile so che vale per il teorema.
Se però non é differenziabile non posso dire niente riguardo la formula del gradiente ma devo direttamente applicarla e vedere se per t che tende a zero vale zero!!
Se però non é differenziabile non posso dire niente riguardo la formula del gradiente ma devo direttamente applicarla e vedere se per t che tende a zero vale zero!!
Ma la differenziabilita non è una condizione sufficiente ma non necessaria?? Io pensavo che dimostrata la differenziabilita la formula fosse sempre vera. Invece nei casi di non differenziabilita può essere vera o meno cioè devo dimostrarla. Sbaglio??
$ ∂f/∂ν(0,0)=<∇f(0,0),ν > $
Avendo già dimostrato il gradiente ed essendo il versore 1 devo solo calcolare le derivate direzionali nel punto? Se sono uguali al gradiente per il versore allora la formula vale, altrimenti non vale. Corretto? Grazie per la pazienza
$ ∂f/∂ν(0,0)=<∇f(0,0),ν > $
Avendo già dimostrato il gradiente ed essendo il versore 1 devo solo calcolare le derivate direzionali nel punto? Se sono uguali al gradiente per il versore allora la formula vale, altrimenti non vale. Corretto? Grazie per la pazienza
Grazie chiarissimo
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