Continuità delle funzioni LP
Salve a tutti, sono una studentessa magistrale di matematica e sono afflitta da dubbi che non riesco a risolvere efficacemente...che rapporto di inclusione c'è tra le funzioni continue e quelle LP?le funzioni L-infinito (ossia limitate) sono continue?Il dubbio è fondamentalmente questo:
f è continua in x_0 se per ogni epsilon > 0 esiste delta > 0 tale che, per |x-x_0|
Ma dal fatto che f sia L-infinito posso solo ottenere la maggiorazione:
|f(x)-f(x_0)|<2||f||, dove con ||f|| ho indicato la norma infinito di f
quindi non minore dell'epsilon da me arbitrariamente scelto!
Spero di essere stata chiara nell'esporre il mio dubbio e che voi possiate aiutarmi
f è continua in x_0 se per ogni epsilon > 0 esiste delta > 0 tale che, per |x-x_0|
Ma dal fatto che f sia L-infinito posso solo ottenere la maggiorazione:
|f(x)-f(x_0)|<2||f||, dove con ||f|| ho indicato la norma infinito di f
quindi non minore dell'epsilon da me arbitrariamente scelto!
Spero di essere stata chiara nell'esporre il mio dubbio e che voi possiate aiutarmi
Risposte
Non c'è nessun legame, in generale, tra appartenenza ad \(L^p\) e continuità, nel senso che:
[list=1]
[*:mjf3sxai] le funzioni di \(L^p\) sono generalmente discontinuissime;
[/*:m:mjf3sxai]
[*:mjf3sxai] le funzioni continue non sempre stanno in \(L^p\).[/*:m:mjf3sxai][/list:o:mjf3sxai]
Come studentessa della magistrale, dovresti ben conoscere la "malefica" funzione di Dirichlet e dovresti poter mostrare con facilità che essa è in \(L^p\) per ogni \(p\in [1,\infty]\). Questo vale da esempio per il punto 1, perché la funzione di Dirichlet è ovunque discontinua.
Per il punto 2, basta considerare (per fissato \(p\in [1,\infty[\)) la funzione \(f:]0,1[\ni x\mapsto \frac{1}{x^{1/p}}\in ]0,\infty[\) per avere una funzione continuissima in \(]0,1[\) che non sta in \(L^p\).
Per \(p=\infty\) basta notare che \(1/x\) è continua in \(]0,1[\) ma non è limitata.
In generale, perciò non si ha né \(C\subseteq L^p\) né \(L^p\subseteq C\).
Tuttavia, se ti restringi a considerare la classe delle funzioni continue a supporto compatto, ossia \(C_c\), che in generale è una sottoclasse propria di \(C\), hai la ben nota inclusione \(C_c\subseteq L^p\) per ogni \(p\in [1,\infty]\). Quindi le funzioni continue a supporto compatto sono contenute in tutti gli spazi \(L^p\).
Anzi, saprai certamente dalla teoria, che \(C_c\) è addirittura denso in \(L^p\) per \(p\in [1,\infty[\) e che ciò non accade per \(p=\infty\).
[list=1]
[*:mjf3sxai] le funzioni di \(L^p\) sono generalmente discontinuissime;
[/*:m:mjf3sxai]
[*:mjf3sxai] le funzioni continue non sempre stanno in \(L^p\).[/*:m:mjf3sxai][/list:o:mjf3sxai]
Come studentessa della magistrale, dovresti ben conoscere la "malefica" funzione di Dirichlet e dovresti poter mostrare con facilità che essa è in \(L^p\) per ogni \(p\in [1,\infty]\). Questo vale da esempio per il punto 1, perché la funzione di Dirichlet è ovunque discontinua.
Per il punto 2, basta considerare (per fissato \(p\in [1,\infty[\)) la funzione \(f:]0,1[\ni x\mapsto \frac{1}{x^{1/p}}\in ]0,\infty[\) per avere una funzione continuissima in \(]0,1[\) che non sta in \(L^p\).
Per \(p=\infty\) basta notare che \(1/x\) è continua in \(]0,1[\) ma non è limitata.
In generale, perciò non si ha né \(C\subseteq L^p\) né \(L^p\subseteq C\).
Tuttavia, se ti restringi a considerare la classe delle funzioni continue a supporto compatto, ossia \(C_c\), che in generale è una sottoclasse propria di \(C\), hai la ben nota inclusione \(C_c\subseteq L^p\) per ogni \(p\in [1,\infty]\). Quindi le funzioni continue a supporto compatto sono contenute in tutti gli spazi \(L^p\).
Anzi, saprai certamente dalla teoria, che \(C_c\) è addirittura denso in \(L^p\) per \(p\in [1,\infty[\) e che ciò non accade per \(p=\infty\).
Grazie mille, sei stato chiarissimo! 
Vorrei inoltre, a costo di essere un poco pesante, ricordare che le "funzioni" in $L^p$ sono in realtà classi di equivalenza di funzioni (per l'equivalenza q.o.). (Come si fa in genere in matematica) si "confonde" la classe di equivalenza con il rappresentante. Diciamo quindi che una funzione continua è in $L^p$ se la classe di equivalenza da essa individuata è in $L^p$. E viceversa, data una "funzione" in $L^p$, diciamo che questa è continua se la classe di equivalenza ammette un rappresentante continuo. Ad esempio, la "funzione" di Diriclet è (nel senso di $L^P$) una funzione continua: gli spazi $L^p$ "non vedono" il comportamento su insiemi di misura nulla. [Si noti in tutto il precedente, la differenza tra "funzioni" (la classe di equivalenza) e funzioni (il concetto abituale)]
Una cosa che forse val la pena provare (ne parlammo qualche tempo fa) è che: data una funzione continua, questa è l'unica funzione continua nella classe di equivalenza quasi ovunque.
Una cosa che forse val la pena provare (ne parlammo qualche tempo fa) è che: data una funzione continua, questa è l'unica funzione continua nella classe di equivalenza quasi ovunque.
@Gaal: Ok, hai ragione.
Per fare un esempio di funzione in \(L^p\) che sia "irrimediabilmente" discontinua basta allora considerare una qualsiasi funzione caratteristica di un insieme misurabile con misura positiva e finita.
Per fare un esempio di funzione in \(L^p\) che sia "irrimediabilmente" discontinua basta allora considerare una qualsiasi funzione caratteristica di un insieme misurabile con misura positiva e finita.
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