Continuità delle funzioni convesse

[KatieP]

Devo dimostrare che se una $f$ è convessa in $I$, allora è continua in tutti i punti interni. Preso $x_0$ interno ad $I$ si dimostra che la derivata destra e sinistra di $f$ in $x_0$ sono finite e fin qui ci sono. Poi il libro dice che ciò implica la continuità in $x_0$, ma non capisco. Le derivate potrebbero anche non essere uguali, la funzione potrebbe non essere derivabile, quindi non è detto che sia continua..da dove discende la continuità allora?

[spugna2]

Se per assurdo non si avesse la continuità in $x_0$, esisterebbero un $epsilon >0$ e una successione $h_n \rightarrow x_0$ tale che $|f (h_n)-f (x_0)|>= epsilon $ $\forall n $, e si può supporre senza perdita di generalità che tale successione sia monotona e che $f (h_n)-f (x_0) $ abbia sempre lo stesso segno, ma questo va a contraddire il fatto che le derivate sono finite (il rapporto incrementale calcolato nei punti della successione è una quantità che tende a $+-oo $).

[dan952]

Si può dimostrare anche supponendo che non sia derivabile, lo si fa per assurdo. Supponiamo che non sia continua in un punto $x_0$ allora esiste un intorno $U-{x_0}$ di questo punto dove $f$ può crescente, costante o decrescente. Supponiamo sia crescente (gli altri casi sono analoghi), $f$ non è continua in $x_0$, cioè esiste $\bar(\varepsilon)$ tale che $|f(x)-f(x_0)| \geq \bar(\varepsilon)$ per ogni $x \in (x_0-\delta, x_0+ \delta \sube U$ con $\delta>0$. Inoltre essendo convessa vale che per ogni coppia $x,y \in I$ e $t \in [0,1]$
$f(t(x-y)+y) \leq t(f(x)-f(y))+f(y)$
Da cui presi $y=x_0-\delta$ e $x=x_0+\delta$ si ha
$f((2t-1)\delta+x_0)-f(x_0-\delta) \leq t(f(x_0+\delta)-f(x_0-\delta))$
Inoltre essendo in $U$ risulta che $|f(x)-f(x_0)| geq \bar(\varepsilon)$ dunque
$0<2\bar(\varepsilon) \leq f((2t-1)\delta+x_0)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_0-\delta) \leq t(f(x_0+\delta)-f(x_0-\delta))$

Per l'arbitrarietà di $t$ si ha la tesi.