Continuità delle derivate parziali

[DeltaEpsilon]

Il testo dell'esercizio è:

Studiare la continuità della derivata parziale \(\displaystyle f_x \) in \(\displaystyle (0,0) \) della seguente funzione definita a tratti

\(\displaystyle f(x,y) = \frac{x^3-y^3}{x^2+y^2} \) per \(\displaystyle (x,y) \neq (0,0) \)

\(\displaystyle f(x,y) = 0 \) per \(\displaystyle (x,y) = (0,0) \)

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Mi calcolo la derivata parziale rispetto ad x

\(\displaystyle f_x = \frac{3x^2(x^2+y^2) - 2x(x^3-y^3)}{(x^2+y^2)^2} \)

Ora l'esercizio mi chiede se è continua in (0,0)

Si vede a occhio che in (0,0) il denominatore si annulla dunque non può essere continua in un punto di non definizione.

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Questo sopra è il mio svolgimento, ma mi è stato riferito essere scorretto e io vorrei capire perché.

Dove sbaglio? Calcolo la derivata parziale e noto non essere definita in (0,0)... quindi?

Grazie in anticipo.

[gugo82]

Come studieresti la continuità della derivata della funzione di una variabile definita da:
\[
f(x) := \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x} &\text{, se } x \neq 0 \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases} \; ?
\]

[DeltaEpsilon]

"gugo82":Come studieresti la continuità della derivata della funzione di una variabile definita da:
\[
f(x) := \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x} &\text{, se } x \neq 0 \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases} \; ?
\]

Derivo la funzione

\(\displaystyle f'(x) = 2x\sin \frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x} \)

e concluderei che è continua nel suo dominio (cioè per \(\displaystyle x \neq 0 \))

[gugo82]

E sbaglieresti, perché la derivata è definita pure in $0$.

[DeltaEpsilon]

"gugo82":E sbaglieresti, perché la derivata è definita pure in $0$.

Pardon, non ho considerato il caso \(\displaystyle x = 0 \)

\(\displaystyle f'(x) = 2x\sin \frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x} \) per \(\displaystyle x \neq 0 \)

e, calcolando il limite per h che tende a 0 di f(h)-f(0) / h troverei che

\(\displaystyle f'(x) = 1 \) per \(\displaystyle x = 0 \)

Dovrei quindi fare il limite in due variabili per la mia funzione a due variabili definita a tratti?

[gugo82]

Calcola bene il limite...

Ad ogni buon conto, nel tuo caso devi verificare anche se la derivata si può calcolare in $(0,0)$ prima di dire alcunché.

[DeltaEpsilon]

"gugo82":Ad ogni buon conto, devi verificare anche se la derivata si può calcolare in $(0,0)$ prima di dire alcunché.

Ok, per le funzioni a due variabili devo fare lo stesso identico procedimento?

[dissonance]

Prima finisci di risolvere per bene l'esercizio in una sola variabile che ha proposto Gugo. Hai una piccola lacuna a livello teorico e quell'esercizio la colmerà. Per calcolare la derivata in \(0\), devi usare la definizione.

[DeltaEpsilon]

\[
f'(x) := \begin{cases} 2x\sin \frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x} &\text{, se } x \neq 0 \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases} \;
\]